Question

4．如图所示，一弧形轨道与光滑水平轨道平滑连接，水平轨道的末端静止着一质量为2m的小球b．从弧形轨道的某处由静止释放另一质量为m的小球a，a球沿轨道下滑后与b球发生弹性正碰，碰后b球以某一速度水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）．已知光滑平台离A的竖直高度为h，圆弧的半径为R，OA与竖直方向的夹角为θ，小球均可视为质点（重力加速度为g），求：
（1）b球到达A点时的速度v_A；
（2）a球与b球碰撞前、后的瞬时速度；
（3）若b球能够通过圆弧的最高点，则到达圆弧最高点C时，对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）利用运动的合成和分解，结合速度偏向角公式，即可求出小球b在A点的速度；
（2）利用b球到达A点时的速度v_A结合动量守恒和动能守恒，即可求出a球与b球碰撞前、后的瞬时速度；
（3）从A到C对小球b运用动能定理，对C点小球进行受力分析，再结合牛顿第二定律，即可求出小球b通过圆弧的最高点C时，对轨道的压力．

解答 解：（1）设b球平抛的初速度为v₀，根据平抛运动速度规律可得：
v_x=v₀①
v_y=gt ②
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$③
速度偏向角公式有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$④
联立①②③④可得：v_x=$\frac{\sqrt{2gh}}{tanθ}$ ⑤，v_y=$\sqrt{2gh}$⑥
b球到达A点时的速度：v_A=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$⑦
联立⑤⑥⑦式可得：v_A=$\sqrt{2gh（\frac{1}{ta{n}^{2}θ}+1）}$⑧
（2）ab两球碰撞，根据动量守恒定律可得：mv₁=2mv₀+mv₂⑨
根据能量守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•2m{v}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$⑩
联立⑨⑩式可得，a球与b球碰撞前速度：v₁=$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$
a球与b球碰撞后速度：v₂=$-\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$
（3）对b球从A到C点的过程运用动能定理可得：-2mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{A}^{2}$⑪
C点对b球运用牛顿第二定律可得：N+2mg=2m•$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$⑫
根据牛顿第三定律可得，C时小球b对轨道的压力：N′=N⑬
联立⑪⑫⑬式可得：N′=mg（$\frac{4h}{Rta{n}^{2}θ}$+$\frac{4h}{R}$-4cosθ-6）
答：（1）b球到达A点时的速度v_A为$\sqrt{2gh（\frac{1}{ta{n}^{2}θ}+1）}$；
（2）a球与b球碰撞前的瞬时速度大小为$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$，方向水平向右，a球与b球碰撞前的瞬时速度大小为$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$，方向水平向左；
（3）若b球能够通过圆弧的最高点，则到达圆弧最高点C时，对轨道的压力为mg（$\frac{4h}{Rta{n}^{2}θ}$+$\frac{4h}{R}$-4cosθ-6）．

点评 本题考查动能定理动量守恒定律的综合运用，解题关键是要分好过程，对研究对象进行受力分析，选择合适的规律解题；要求大家牢记平抛运动的规律，以及弹性碰撞过程所满足的动量守恒和动能守恒．