Question

在竖直平面内放置一长为L、内壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在着匀强磁场与匀强电场．匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为mg/q．如图所示，场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度v₀垂直于左边界进入场中向右运动，由于水平外力F的作用，玻璃管进入场中速度保持不变，一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内运动，最后从左边界飞离电磁场．运动过程中小球电荷量保持不变，不计空气阻力．
（1）试求小球从玻璃管b端滑出时的速度大小；
（2）试求小球离开场时的运动方向与左边界的夹角．

Answer 1

分析：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，根据电场力与重力平衡，可确定电场力，从而求出加速度．并由运动学公式，可求出小球运动到b端的速度大小；
（2）根据左手定则来确定洛伦兹力的方向，从而画出粒子的运动轨迹，并由牛顿第二定律与几何关系来确定，即可求解．

解答：解：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，由E=

mg

q

得：
Eq=mg，即重力与电场力平衡，
所以小球在管中运动的加速度为：a=

Fy

m

=

Bv0q

m

设小球运动至b端时的y方向速度分量为v_y，则：vy2=2aL
所以小球运动至b端时速度大小为：v=

2Bv0qL m +v02

（2）设小球在管中运动的时间为t，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示，t时间内玻璃管的运动距离x=v₀t
由牛顿第二定律得：qvB=

mv2

R

由几何关系得：sinα=

x-x1

R

因为

x1

R

=

vy

v

，所以：x1=

vy

v

R=

qv0Bt

mv

=v0t=x，
可得sinα=0
故α=0°，即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．
答：（1）小球从玻璃管b端滑出时的速度大小为v=

2Bv0qL m +v02

；
（2）小球离开场时的运动方向与左边界的夹角为0．

点评：考查粒子做类平抛运动的处理规律，以及粒子做匀速圆周运动的处理方法，掌握牛顿第二定律与几何关系的综合应用．