Question

5．有两颗人造卫星，它们的质量之比是m₁：m₂=1：2，运行速度之比v₁：v₂=1：3．则
（1）它们轨道半径之比r₁：r₂为9：1；    
（2）它们周期之比T₁：T₂为27：1．

Answer 1

分析 （1）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，由此列式得到线速度与轨道半径的关系式，再求解轨道半径之比．
（2）由万有引力提供向心力，由此列式得到周期与轨道半径的关系式，再求解周期之比．

解答 解：（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，得：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
已知v₁：v₂=1：3，代入上式解得 r₁：r₂=9：1．
（2）根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$═m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
将r₁：r₂=9：1，代入上式解得 T₁：T₂=27：1
故答案为：
（1）9：1．
（2）27：1．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一基本思路，知道线速度、周期与轨道半径的关系．