Question

如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h．已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G．设距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T₀．下列结论正确的是（　　）

• A、导弹在C点的速度大于

  GM R+h

• B、导弹在C点的加速度小于

  GM

  (R+h)2

• C、地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点
• D、导弹从A点运动到B点的时间一定小于T₀

Answer 1

分析：距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度，根据牛顿第二定律得到其运动速度为

GM R+h

．C为轨道的远地点，导弹在C点的速度小于

GM R+h

．由牛顿第二定律求解导弹在C点的加速度．根据开普勒定律分析导弹的焦点．由开普勒第三定律分析导弹的运动时间与T₀的关系．

解答：解：
A、设距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度为v，则由牛顿第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

，得到v=

GM R+h

．导弹在C点只有加速才能进入卫星的轨道，所以导弹在C点的速度小于

GM R+h

．故A错误．
B、由牛顿第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=ma，得导弹在C点的加速度为a=

GM

(R+h)2

．故B错误．
C、根据开普勒定律分析知道，地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点．故C正确．
D、设导弹运动的周期为T，由于导弹的半长轴小于卫星的轨道半径R+h，根据开普勒第三定律知道：导弹运动的周期T＜T₀，则导弹从A点运动到B点的时间一定小于T₀．故D正确．
故选CD

点评：本题运用牛顿第二定律、开普勒定律分析导弹与卫星运动问题．比较C在点的速度大小，可以结合卫星变轨知识来理解．