Question

如图（a）所示，在真空中，半径为b的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为b，板长为2b，两板的中心线O₁O₂与磁场区域的圆心O在同一直线上，两板左端与O₁也在同一直线上．有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子，以速率v从圆周上的P点沿垂直于半径OO₁并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O₁点飞出磁场时，给M、N板加上如图（b）所示电压u．最后粒子刚好以平行于N板的速度，从N板的边缘飞出．不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力．
（1）求磁场的磁感应强度B；
（2）求交变电压的周期T和电压U的值；
（3）若t=时，将该粒子从MN板右侧沿板的中心线O₂O₁，仍以速率v射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到P点的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，用牛顿第二定律可求出磁场的大小，用左手定则可判知磁场的方向．
（2）粒子进入电场后将做复杂的曲线运动，但在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是周期性的偏转运动，竖直方向的位移是，应用周期性的偏转位移进行求解．
（3）当t=粒子以速度v沿O₂O₁射入电场时，粒子要向上偏转，最后从M板的右端进入磁场，做出偏转的轨迹图，利用几何关系可判知磁场中射出的点到P点的距离．
解答：解：
（1）粒子自P点进入磁场向右偏转，从O₁点水平飞出磁场，运动的半径必为b，如图一所示：洛伦兹力提供向心力，有：

解得：
由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外．
（2）粒子自O₁点进入电场，做变加速曲线运动，最后恰好从N板的边缘平行飞出（如图二所示），设运动时间为t，则水平方向上有：
2b=vt 
在竖直方向上有：

t=nT（n=1，2，…） 
解得  （n=1，2，…） 
（n=1，2，…） 
（3）当t=粒子以速度v沿O₂O₁射入电场时，则该粒子恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场（如图三所示），且进入磁场的速度仍为v，运动的轨道半径仍为b．
设进入磁场的点为Q，离开磁场的点为R，圆心为O₃，如图所示，四边形OQ O₃R是菱形，故O R∥QO₃． 
所以P、O、R三点共线，即POR为圆的直径．即PR间的距离为2b．
答：（1）求磁场的磁感应强度为，方向垂直纸面向外．
（2）交变电压的周期T为（n=1，2，…）
电压U为（n=1，2，…），
（3）粒子从磁场中射出的点到P点的距离为2b．
点评：该题考察了带电粒子在有边界的匀强磁场中的偏转和在变化的电场中的运动，正确分析带电粒子在电场和磁场中的受力并判断其运动的性质及轨迹是解题的关键；在分析其受力及描述其轨迹时，要有较强的空间想象能力，并善于把空间图形转化为最佳平面视图；当带电粒子在电磁场中做多过程运动时，关键是掌握基本运动的特点和寻找过程的边界条件．