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    8．如图甲所示，定滑轮上绕一细线，线的一端系一质量为M的重物，另一端系一质量为m的金属棒，金属棒ab放在两根间距为L的足够长的光滑平行金属导轨上，导轨与水平方向的夹角为θ，在两导轨底端之间连接有阻值为R的电阻、导轨和金属棒的电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直向上．开始时金属杆置于导轨下端，将重物由静止释放，重物最终能匀速下滑．运动过程中金属杆始终与两导轨垂直且接触良好，已知重力加速度为g；求：
    （1）求重物匀速下降时的速度大小；
    （2）当M匀速运动时，突然剪断细线，金属棒继续沿导轨向上运动，当滑行了一段距离s后达到最高点，求此过程中电阻R上产生的焦耳热；
    （3）对一定的磁感应强度B，重物取不同的质量M，测出相应的重物做匀速下降运动时的v值，得到实验图线如图乙所示．图中画出了磁感应强度分别为B1和B2时的两条实验图线，试根据实验结果计算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

    分析 （1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，合力为零．分析金属杆的受力情况，由F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv结合推导出安培力的表达式，即可由平衡条件求出重物匀速下降的速度v；
    （2）若M从静止到匀速的过程中下降高度h的过程中，M的重力势能减小转化为m的重力势能、系统的动能和内能，根据能量守恒定律求解R上产生的焦耳热．
    （3）根据第1题v的表达式，分析v-M图象的斜率，结合图象求出斜率，即可得到B1和B2的比值．

    解答 解：（1）设重物匀速下降时的速度大小为v．
    金属杆达到匀速运动时，受绳子拉力F、金属杆的重力mg、向下的安培力FA．
    则：F=FA+mgsinθ…①
    其中F=Mg…②
    又对金属杆有：安培力FA=BIL，感应电流I=$\frac{E}{R}$，感应电动势 E=BLv
    则得：FA=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…③
    所以由①②③得：v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$…④
    （2）剪断细线后，对金属棒和回路系统，产生的焦耳热为Q，由能量守恒得：
      $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgssinθ+Q
    解得 Q=$\frac{m（M-msinθ）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgssinθ
    （3）根据第1问求得的结果可知，由④式可得v-M的斜率为 k=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
    由图乙可得 k1=$\frac{8}{5}$m/s•kg，k2=$\frac{9}{10}$m/s•kg
    可得 $\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$
    代入数据解得 $\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{3}{4}$
    答：
    （1）重物匀速下降时的速度大小为$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
    （2）当M匀速运动时，突然剪断细线，金属棒继续沿导轨向上运动，当滑行了一段距离，后达到最高点，此过程中电阻R上产生的焦耳热为$\frac{m（M-msinθ）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgssinθ；
    （3）比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$为$\frac{3}{4}$．

    点评 本题中运用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推导安培力的表达式是求解的关键步骤，再运用数学知识分析图象的斜率，得到B1和B2的比值．

    练习册系列答案
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