Question

如图1所示，纸面表示竖直平面，过P点的竖直线MN左侧空间存在水平向右的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，两个电场的电场强度大小相等．一个质量为m、带电量为+q的小球从O点开始以竖直向上的速度v₀抛出，恰能水平地通过P点，到达P点时的速度大小仍为v₀．从小球到达P点时起，在空间施加一个垂直纸面向外的周期性变化的磁场，磁感应强度随时间变化的图象如图2所示（其中t₁、t₂为未知的量，t2＜

2πm

qB0

），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L．（重力加速度为g）

（1）求OP间的距离；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试写出t₁的表达式；（用题中所给的物理量的符号表示）
（3）如果小球从通过P点后便始终能在电场所在空间做周期性运动，但电场存在理想的右边界M'N'（即M'N'的右侧不存在电场），且Q点到M'N'的距离为

L

π

．当小球运动的周期最大时：
a．求此时的磁感应强度B₀及小球运动的最大周期T；
b．画出小球运动一个周期的轨迹．

Answer 1

分析：（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，用平均速度表示两个分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律分析得到电场力qE=mg，则知小球通过P点后，在0～t₁时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t₁～（t₁+t₂）时间内做匀速率圆周运动．小球恰能竖直向上经过Q点，画出轨迹，可知：t2=

3

4

T0，可求出t₁的表达式．
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求解磁感应强度B₀及周期．

解答：解：（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，令运动时间为t，由运动学规律有  t=

v0

g

水平位移  x=

v0+0

2

t=

v 2 0

2g

竖直位移  y=

0+v0

2

t=

v 2 0

2g

所求OP间距离s=

x2+y2

=

2 v 2 0

2g

（2）设电场强度的大小为E，考虑小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律竖直方向：0=v₀-gt
水平方向：v₀=at
         a=

qE

m

可得：qE=mg
上式表明，小球通过P点后，在0～t₁时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t₁～（t₁+t₂）时间内做匀速率圆周运动．
设小球在磁场中做圆周运动的周期为T₀，若竖直向上通过Q点，由图（1）问分析可知必有以下两个条件：
  t2=

3

4

T0
  v₀t₁-L=R，
其中R为圆周运动的轨道半径．
由牛顿第二定律和圆周运动规律有：qv0B=m

v 2 0

R

 T0=

2πR

v0

解得：t1=

L

v0

+

m

qB0

（3）a．小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，为使小球从通过P点后能做周期性运动，需满足t₁=t₂．
有：

L

π

=2R=2

mv0

qB0

解得：B0=

2πmv0

qL

而T0=

2πR

v0

=

2πm

qB0

=

L

v0

可知小球在电场中运动的最大周期：T=8×

3T0

4

=

6L

v0

b．答图如图2所示

答：
（1）OP间的距离是

2 v 2 0

2g

；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，t₁的表达式是

L

v0

+

m

qB0

；
（3）磁感应强度B₀是

2πmv0

qL

，小球运动的最大周期T为

6L

v0

；

点评：本题带电粒子在复合场中运动的问题，小球的受力情况，确定研究方法，在重力与电场和复合场中运用分解法研究，在电场、重力场和磁场的复合场中画出轨迹，运用几何知识是基本方法．