Question

8．如图所示，足够长的斜面固定在水平地面上，倾角θ=37°，A物体的质量为m_A=6kg，A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，滑轮摩擦不计，g取10m/s²）．
（1）若要保持A静止不动，B的质量的取值范围是多少？
（2）已知B距地面的高度为2.5m，若m_B=10kg，求B的落地时间．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）先对物体B受力分析，受重力和拉力，二力平衡；再对物体A受力分析，受拉力、重力、支持力和静摩擦力，分静摩擦力向上和向下两种情况列方程求解．
（2）由牛顿第二定律求得两个物体的加速度，再由位移公式求B运动的时间．

解答 解：（1）对B受力分析，绳中拉力 T=m_Bg；
当m_B取最大值时，物体具有沿斜面向下的最大静摩擦力f_m；对A受力分析，受重力、支持力、拉力和摩擦力，如图所示：

根据共点力平衡条件，有：
  N-m_Agcosθ=0；
T-f_m-m_Agsinθ=0；
其中：f_m=μN
联立以上各式，解得：m_B=m_A（sinθ+μcosθ）=6×（0.6+0.5×0.8）=6kg
当m_B取最小值时，物体具有沿斜面向上的最大静摩擦力f_m；
对A受力分析，受重力、支持力、拉力和摩擦力，如图所示：

根据共点力平衡条件，有：
  N-m_Agcosθ=0；
  T+f_m-m_Agsinθ=0；
其中：f_m=μN
联立以上各式，解得：m_B=m_A（sinθ-μcosθ）=6×（0.6-0.5×0.8）=2kg
综上，要保持A静止不动，B的质量的取值范围是：2kg≤m_B≤6kg
（2）若m_B=10kg，A匀加速上滑，B匀加速下落，两者加速度大小相等，设为a．
根据牛顿第二定律得
对A有：T-μm_Agcosθ-m_Agsinθ=m_Aa；
对B有：mg-T=m_Ba
联立解得 a=2.5m/s²．
对B，由h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得
    t=$\sqrt{\frac{2h}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2.5}{2.5}}$=$\sqrt{2}$s
答：
（1）要保持A静止不动，B的质量的取值范围是：2kg≤m_B≤6kg．
（2）B的落地时间是$\sqrt{2}$s．

点评 本题的关键要明确物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大值，找出恰好不上滑和恰好不下滑的临界状态，然后根据共点力平衡条件列式求解B的质量的取值范围．