Question

15．如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量均为Q，其中A带正电荷，B带负电荷，D、C是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球E，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷），被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，O点在C点的正上方．现在把小球E拉到M点，使细线水平绷紧且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，小球E向下运动到最低点C时，速度为v．已知静电力常量为k，重力加速度为g，试求：
（1）带电小球E在C点所受的库仑力的大小及方向；
（2）绝缘细线在C点对带电小球E的拉力T；
（3）取D点的电势为零，求A、B所形成的电场中，M点的电势φ_M．

Answer 1

分析 （1）根据库仑定律和电场力的合成，求小球E在C点所受的库仑力的大小及方向．
（2）小球做圆周运动，在C点，由牛顿第二定律可求得细绳对小球E的拉力T．
（2）由W=Uq即可求得MC两点间的电势差，则可求得M点的电势．

解答 解：（1）在C点时正电荷A对小球E的场力F₁与负电荷B对小球E的电场力F₂相等，且为：
F₁=F₂=k$\frac{Qq}{{d}^{2}}$
又A、B、C为一等边三角形，所以F₁、F₂的夹角为120°，故F₁、F₂的合力为：
F=2F₁cos60°=k$\frac{Qq}{{d}^{2}}$，方向竖直向下
（2）带电小球E在C点时，由牛顿第二定律得：
T-mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：T=mg+k$\frac{Qq}{{d}^{2}}$+m$\frac{{v}^{2}}{L}$
（2）电荷E从M点运动到C的过程中，电场力做正功，重力做正功．根据动能定理得：
qU_MC+mgL=$\frac{1}{2}$mv²
得M、C两点的电势差为：U_MC=$\frac{m{v}^{2}-2mgL}{2q}$
又C点与D点为等势点，U_MC=φ_M-φ_C=，解得 M点的电势为：
φ_M=U_MC=$\frac{m{v}^{2}-2mgL}{2q}$
答：（1）带电小球E在C点所受的库仑力的大小为k$\frac{Qq}{{d}^{2}}$，方向竖直向下；
（2）绝缘细线在C点对带电小球E的拉力T是mg+k$\frac{Qq}{{d}^{2}}$+m$\frac{{v}^{2}}{L}$；
（3）取D点的电势为零，A、B所形成的电场中，M点的电势φ_M是$\frac{m{v}^{2}-2mgL}{2q}$．

点评 本题考查电场中力与能的性质，要注意小球在拉力、重力及库仑力的作用下做圆周运动，应明确合力充当了向心力．