Question

如图在竖直平面内有水平向右、电场强度为E=1×10⁴N/C的匀强电场．在匀强电场中有一根长L=2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.04kg的带电小球，它静止A点时悬线与竖直方向成θ=37°角．若小球恰好绕点在竖直平面内做圆周运动，（cos37°=0.8g=10m/s²）试求：
（1）小球的带电荷量Q
（2）小球动能的最小值
（3）小球机械能的最小值（取小球静止时的位置为电势能零点和重力势能零点）

Answer 1

分析：（1）根据小球在平衡位置合力为0，可以求出小球所受的电场力从而得出小球的带电荷量；
（2）根据小球恰好在竖直面内做圆周运动这一临界条件，知，在平衡位置处合外力提供圆周运动的向心力从而求出小球动能的最小值．
（3）抓住小球能量守恒，电势能最大处小球的机械能最小，根据做功情况分析．

解答：解：（1）对小球进行受力分析如上图所示，

可得：

qE

mg

=tan37°．解得：小球的带电量为 q=

mgtan37°

E

=3×10-5C．
（2）由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力．

在圆上各点中，小球在平衡位置A点时的势能（重力势能和电势能之和）最小，在平衡位置的对称点B点，小球的势能最大，由于小球总能量不变，所以在B点的动能E_kB最小，对应速度vB最小，在B点，小球受到的重力和电场力，其合力作为小球做圆周运动的向心力，而绳的拉力恰为零，有：
T=

mg

cos37°

=0.5N，而F合=

m v 2 B

L

，所以EKB=

1

2

m

v

2 B

=

1

2

F合L=0.5J
（3）由于总能量保持不变，即E_k+E_PG+E_PE=恒量．所以当小球在圆上最左侧的C点时，电势能E_PE最大，机械能最小．
由B运动到A，W_合力=-（E_PA-E_PB），W_合力=F_合?2L，所以E_PB=2J
总能量E=E_PB+E_kB=2.5J．
由C→A，W_FE=F_E?L?（1+sin37°）=0.96J，W_FE=E_P2 （E_P2为C点电势能）
所以C点的机械能为E_机C=E-E_P2=1.54J
答：（1）小球的带电荷量Q=3×10^-5C
（2）小球动能的最小值E_kmin=0.5J
（3）小球机械能的最小值（取小球静止时的位置为电势能零点和重力势能零点）E_min=1.54J

点评：该题为小球在电场和重力场这一复合场中的运动问题，抓住重力和电场力的合力为恒力这一突破口解决本题．