Question

8．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a．则（　　）

• A． B星体所受的合力与A星体所受合力之比为1：2
• B． 圆心O与B的连线与BC夹角θ的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． A、B星体做圆周运动的线速度大小之比为$\sqrt{3}$：$\sqrt{7}$
• D． 此三星体做圆周运动的角速度大小为2$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{{a}^{3}}}$

Answer 1

分析 由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力即可．
C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；
三星体做圆周运动的角速度相等，写出B的向心加速度表达式即可求出．

解答 解：A、由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
${F}_{BA}={F}_{CA}=\frac{G{m}_{A}{m}_{c}}{{a}^{2}}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$
方向如图，则合力的大小为：${F}_{A}=2{F}_{BA}•cos30°=2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
同理，B星受到的引力分别为：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如图；

沿x方向：${F}_{Bx}={F}_{AB}•cos60°+{F}_{CB}=2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
沿y方向：${F}_{By}={F}_{AB}•sin60°=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
可得：${F}_{B}=\sqrt{{F}_{Bx}^{2}+{F}_{By}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
B星体所受的合力与A星体所受合力之比为$\sqrt{7}$：$2\sqrt{3}$．故A错误；
B、通过对于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．
所以圆心O与B的连线与BC夹角θ的正切值为：$tan∠OBD=\frac{{F}_{y}}{{F}_{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B正确；
C、结合B的分析可知，所以：${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}a$
由几何关系：R_A=AO=AD-OD
而：AD=a•sin60°；OD=BD•tan60°=a•tan60°
联立得：AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$
由于三星系统转动的角速度是相等的，由v=ωr
可得A、B星体做圆周运动的线速度大小之比为：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．故C正确；
D、由题可知C的受力大小与B的受力相同，对B星：${F}_{B}=\sqrt{7}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m{ω}^{2}{R}_{B}$
整理得：ω=$\sqrt{\frac{4Gm}{{a}^{3}}}$故D错误．
故选：BC

点评 该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的．画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答．