Question

（2013?东城区模拟）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r _B=1.2×10⁵km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用，结果可用根式表示．求：
（1）岩石颗粒A和B的线速度之比；
（2）岩石颗粒A和B的周期之比．

Answer 1

分析：（1）岩石颗粒绕土星做圆周运动的向心力来源于土星的万有引力，由牛顿第二定律和万有引力定律列式，得到线速度的表达式，即可求解线速度之比．
（2）由圆周运动的基本规律求周期之比．

解答：解：（1）设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，由牛顿第二定律和万有引力定律：
 

GM0m

r2

=

mv2

r

解得 v=

GM0 r

对于A、B两颗粒分别有vA=

GM0 rA

，vB=

GM0 rB

解得

vA

vB

=

6

2

（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：T=

2πr

v

对于A、B两颗粒分别有TA=

2πrA

vA

，TB=

2πrB

vB

解得

TA

TB

=

2 6

9

答：
（1）岩石颗粒A和B的线速度之比为

6

：2；
（2）岩石颗粒A和B的周期之比是2

6

：9．

点评：此题是卫星类型，抓住万有引力等于向心力及圆周运动的基本规律，即可进行求解．