Question

9．在某星球发射人造卫星的最小速度为v，若以初速度v₀竖直向上抛出一小球，小球返回出发点的时间为t，求万有引力常量G与该星球质量M的乘积GM．

Answer 1

分析 小球在星球表面做竖直上抛运动，由t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$求出星球表面的重力加速度．物体在星球表面上时，由重力等于万有引力．卫星绕星球做圆周运动时，由万有引力提供向心力，由此列式，联立求解．

解答 解：对人造卫星，由由万有引力提供向心力，得
  $\frac{GMm}{R^2}=\frac{{m{v^2}}}{R}$
在星球表面上，由重力等于万有引力，得 $\frac{GMm}{R^2}=mg$
小球在星球表面做竖直上抛运动，有 $t=\frac{{2{v_0}}}{g}$
联立解得  $GM=\frac{{{v^4}t}}{{2{v_0}}}$
答：万有引力常量G与该星球质量M的乘积GM为$\frac{{v}^{4}t}{2{v}_{0}}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系物体运动和天体运动的桥梁．