Question

（20分）如图甲所示，在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN， P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直地放置，其俯视图如图乙所示．已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m，极板本身的厚度不计，极板长均为L=0.2m，板间电压都是．金属板右侧为竖直向下的匀强磁场，磁感应强度，磁场区域足够大．今有一质量为，电量为的带负电小球在水平面上如图从PQ平行板间左侧中点O沿极板中轴线以初速度=4m/s进入平行金属板PQ．

（1）试求小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度；

（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．则金属板Q、M间距离最大是多少？

Answer 1

 解：（1）小球在PQ金属板中做类平抛运动：

      小球所受电场力，而小球加速度

      故

      小球在板间运动的时间 

小球在垂直板方向上的速度      

 则小球离开PQ板时的速度为

 与中轴线的夹角为                 

（2）在PQ极板间，若P板电势比Q板高，则小球向P板偏离，进入右侧磁场后做圆周运动，由运动的对称性，则必须N板电势高于M板电势，其运动轨迹如图a所示；同理若Q板电势比P板高，则必须M板电势高于N板电势，其运动轨迹如图b所示。否则不可能在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出。

小球进入磁场后做圆周运动，设运动半径为R，因洛仑兹力提供向心力，即： 

  所以  

在PQ极板间，若小球向P板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为h_a；在PQ极板间，若小球向Q板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为h_b。由图中几何关系（注：图中半径不同，为简便，两图合一）可算得： 

小球偏离中轴线的位移

当小球向P板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为

 

当小球向Q板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为

 

显然         

代入数据得 

因而金属板Q、M间距离最大为0.75m。