Question

12．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为$\frac{t}{8}$．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．
（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体质量，再根据密度公式求得密度；
（2）根据开普勒行星定律由半长轴的关系求得周期，从远月点飞到近月点所用时间为椭圆轨道的$\frac{1}{2}$周期；
（3）相距最近时，两飞船中运得快的比运动得慢的多绕月飞行n周，根据角速度关系求解所用时间即可．

解答 解：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：
T₃=$\frac{t}{8n}$…①
由万有引力提供向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}_{3}^{2}}$…②
又：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$…③
联立得：$ρ=\frac{3π}{G{T}_{3}^{2}}$=$\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$…④
（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T₁，在轨道I有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…⑤
又：${T}_{1}=\frac{t}{n}$…⑥
联立①②⑤⑥得：r=4R
设飞船在轨道II上的运动周期T₂，而轨道II的半长轴为：$b=\frac{r+R}{2}$=2.5R…⑦
根据开普勒定律得：
$\frac{{T}_{2}^{2}}{{（2.5R）}^{3}}=\frac{{T}_{3}^{2}}{{（4R）}^{3}}$…⑧
可解得：T₂=0.494T₃
所以飞船从A到B的飞行时间为：$t=\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{0.247t}{n}$
（3）设飞船在轨道I上的角速度为ω₁、在轨道III上的角速度为ω₃，有：${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}$
所以${ω}_{3}=\frac{2π}{{T}_{3}}$
设飞飞船再经过t时间相距最近，有：
ω₃t′-ω₁t′=2mπ
所以有：t=$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3…）
答：（1）月球的平均密度是$\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为$\frac{0.247t}{n}$．
（3）则经$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3…），他们又会相距最近．

点评 本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．