Question

12．导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定与水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合回路．已知导线MN电阻为R，其长度l恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框的电阻．
（1）通过公式推导验证：在△t时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W_电，也等于导线MN中产生的焦耳热Q；
（2）若导线的质量m=8.0g，长度L=0.10m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v_e（下表中列出一些你可能会用到的数据）．

阿伏伽德罗常数NA	6.0×1023mol-1
元电荷e	1.6×10-19C
导线MN的摩尔质量μ	6.0×10-2kg/mol

（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞，展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型：在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据切割公式求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式求解安培力，根据功的定义求解安培力功，根据W=EIt求解电流的功；
（2）先根据阿伏加德罗常数求解单位体积内的分子数，然后根据电流的微观表达式求解电荷的平均速率；
（3）建立完全非弹性碰撞的微观模型，然后根据功能关系列式求解．

解答 解：（1）导体切割磁感线，产生的动生电动势  E=BLυ                         
感应电流  I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$                     
安培力  F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$                  
力F做功  W=F△x=Fυ△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t            
电能  W_电=EI△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t    
焦耳热  Q=I²R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}^{2}}$R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t    
可知，W=W_电=Q
（2）总电子数 N=N_A$\frac{m}{μ}$
设单位体积内电子数为n，则N=nSL
故    I△t=enSυ_e△t
得    I=enSυ_e=eυ_e$\frac{N}{L}$=eυ_e$\frac{{N}_{A}m}{Lμ}$          
所以  υ_e=$\frac{μIL}{em{N}_{A}}$=7.8×10^-6 m/s
（3）从微观层面看，导线中的自由电子与金属离子发生的碰撞，可以看作非弹性碰撞，碰撞后自由电子损失动能，损失的动能转化为焦耳热．从整体上来看，可以视为金属离子对自由电子整体运动的平均阻力导致自由电子动能的损失，
即W_损=N$•\overline{f}•$L                            
从宏观方面看，力F对导线MN做功，而导线的速度不变，即导线的动能不变，所以力F做功全部转化为焦耳热．
△t时间内，力F做功△W=Fυ△t             
又△W=W_损
即Fυ△t=N$•\overline{f}•$L    
  Fυ△t=nSυ_e△t$•\overline{f}•$L
将I=neSυ_e代入，得
 Fυ=$\frac{I}{e}$$\overline{f}$L
将F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$、I=$\frac{BLv}{R}$代入
得 $\overline{f}$=eυB
答：
（1）证明如上；
（2）导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率为7.8×10^-6m/s；
（3）导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式为$\overline{f}$=eυB．

点评 本题关键是从功能关系的角度理解电磁感应的微观机理，应用切割公式、闭合电路欧姆定律公式、安培力公式、电流的微观表达式、功能关系等列式求解即可．