Question

（2009?公安县一模）“嫦娥一号”探月卫星与稍早前日本的“月亮女神号”探月卫星不同，“嫦娥一号”卫星是绕月极地轨道上运动的，加上月球自转，因而“嫦娥一号”卫星能探测到整个月球的表面．12月11日“嫦娥一号”卫星CCD相机已对月球表面进行成像探测，并获取了月球背面部分区域的影像图．卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为T_M；月球地公转的周期为T_E，半径为R₀．地球半径为R_E，月球半径为R_M．试解答下列问题：
（1）若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，试求月球与地球质量之比；
（2）当绕月极地轨道的平面与月球绕地公转的轨道平面垂直，也与地心到月心的连线垂直（如图所示）．此时探月卫星向地球发送所拍摄的照片，此照片由探月卫星传送到地球最少需要多长时间？已知光速为c．

Answer 1

分析：（1）卫星绕月做圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，知道距月球表面高为H，月球半径为R_M，绕行的周期为T_M，根据由牛顿第二定律可求出月球的质量．月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力，由月球公转的周期为T_E，半径为R₀．地球半径为R_E，根据由牛顿第二定律可求出地球的质量．
（2）根据几何知识求出卫星到地面最短距离，再求出时间．

解答：解：（1）由牛顿第二定律得F向=man=m(

2π

T

)2r
月球绕地公转由万有引力提供向心力得，G

M月M地

R 2 0

=M月(

2π

TE

)2R0
同理，探月卫星绕月运动时有：G

M月M卫

(RM+H)2

=M卫(

2π

TM

)2(RM+H)
由上两式联立解得：

M月

M地

=(

TE

TM

)2×(

RM+H

R0

)3；
（2）设探月极地轨道上卫星到地心的距离为L₀，则卫星到地面最短距离为L₀-R_E，由几何知识得：
   L₀²=R₀²+（R_M+H）²
将照片发回地面的时间
t=

L0-RE

c

=

R 2 0 +(RM+H)2 -RE

c

答：（1）月球与地球质量之比：

M月

M地

=(

TE

TM

)2×(

RM+H

R0

)3；
    （2）探月卫星传送到地球最少需要

R 2 0 +(RM+H)2 -RE

c

时间．

点评：本题是计算天体质量问题，利用万有引力与圆周运动知识的结合求解环绕天体的质量，是常用方法之一．