Question

8．2013年6月13日13时18分，天宫一号目标飞行器与神舟十号飞船成功实现自动交会对接．组合体绕地球做圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求
（1）组合体离地面的高度及速度大小；
（2）若对接前，神舟十号飞船在较低的轨道上与天宫一号目标飞行器同向做圆周运动，此后，神舟十号飞船通过发动机做功W，增加引力势能E，实现天宫一号目标飞行器的对接，则发动机做功前，神舟十号飞船所在的高度是多少（神舟十号飞船的质量为m）？

Answer 1

分析 万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，和在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可以解得组合体离地面的高度，根据线速度与轨道半径和周期的关系可以计算出速度大小．根据能量守恒结合线速度的表达式计算动机做功前神舟十号飞船所在的高度．

解答 解：（1）组合体绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
又因为在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得$r=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
因为r=h+R
所以组合体离地面的高度为h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
运行的速度为v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
神舟十号飞船在较低的轨道上做离心运动到高轨道上与天宫一号对接，轨道高度增加，速度减小，即动能减小．
根据能量守恒定律可知，减少的动能为△E_k=E-W
即$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\root{3}{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}）^{2}=E-W$
因为$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+H}}$
所以$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{R+H}-\frac{1}{2}m{（\root{3}{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}）}^{2}=E-W$
解得H=$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg{R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$
答：（1）组合体离地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，速度大小为$\root{3}{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}$；
（2）发动机做功前，神舟十号飞船所在的高度是$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg{R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$这两个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．