Question

12．人们认为某些白矮星（密度较大的恒星）自转一周的时间为T，万有引力常量为G，为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为多少？若白矮星的半径是地球的半径的N倍，地球的半径为R，则白矮星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 （1）万有引力大于自转所需向心力是物体不被甩掉的条件，由此分析即可；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力分析第一宇宙速度的大小．

解答 解：设白矮星赤道上的物体m恰好不被甩出去，万有引力刚好提供自转所需向心力有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$①
可得白矮星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
据球的体积公式知，白矮星的体积：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$  ②
所以其平均密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
根据$G\frac{Mm}{（NR）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{NR}$得，$v=\sqrt{\frac{GM}{NR}}$，
M=$ρ•\frac{4}{3}π（NR）^{3}$
联立解得v=$\frac{2πRN}{T}$．
答：密度至少为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．白矮星的第一宇宙速度是$\frac{2πRN}{T}$．

点评 掌握万有引力提供圆周运动向心力，根据近地卫星的周期可以求出中心天体密度，这是正确解决本题的关键．