Question

我国探月工程计划在2015年以前通过无人驾驶的轨道飞行器，在月球上进行采样工作，以此方式执行最初的登月计划，并最终实现中国人登上月球．假设2017年7月7日，我国宇航员乘“嫦娥五号”飞船到月球上考察．宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱与人的总质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响．
（1）返回舱至少需要多大速度才能绕月飞行，不再落回月面？
（2）卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成．已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为E_P=-GMm/r．则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

Answer 1

【答案】分析：（1）当返回舱受到月球的万有引力恰好提供其向心力时，它将绕月飞行，不再落回月面，根据万有引力等于向心力，及万有引力等于重力列式求解；
（2）根据万有引力等于向心力，求出轨道舱的速度v，得到宇航员乘坐返回舱与轨道舱进行对接时具有的动能为E_K=mv²，根据题中条件引力势能为E_P=-，返回舱返回过程中克服引力做的功，再根据能量守恒求解．
解答：解：（1）月球对返回舱的引力F应是其运动所受的向心力．则有
   G=m ①
在月球表面上，返回舱和人所受到的万有引力近似等于重力，则．
 G=mg．②
可得v=
故返回舱至少需要的速度才能绕月飞行，不再落回月面．
（2）设轨道舱的质量为m，速度大小为v，则
 G=m，得v=
则宇航员乘坐返回舱与轨道舱进行对接时，具有的动能为：
E_K=mv²=G
因此返回舱返回过程中克服引力做的功为
W=-G-（-G）=G-G
由能量守恒可知返回舱返回时至少需要能量
E=E_K+W=G+G-G=G-G=mgR（1-）
答：
（1）返回舱至少需要有的速度才能绕月飞行，不再落回月面．
（2）该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得mgR（1-）能量才能返回轨道舱．
点评：本题是卫星类型的问题，在忽略星球自转的影响，要能根据万有引力等于重力列出等式．通过建立模型，理清解题思路，根据万有引力等于向心力建立方程．