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    7．如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内有一半圆形区域，其半径为R，半圆的一条直径与x轴重合，0为该直径的一个端点．半圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，半圆外存在垂直纸面向外的匀强磁场，半圆内外磁场的磁感应强度大小都为B0，在坐标原点0处有一粒子源，沿x轴正方向不断发射出质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的发射速度为大于零的任意值（不考虑相对论效应）．已知半圆形边界处存在特殊物质，当粒子由半圆内向半圆外运动时，粒子不受任何影响，但当粒子由半圆外向半圆内运动时，粒子就会被边界处的特殊物质吸收．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．
    （1）求从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围；（已知：tan15°=2-$\sqrt{3}$）
    （2）证明最终打在半圆形边界且被特殊物质吸收的粒子，在磁场中运动的总时间都相等，并且求出该时间；
    （3）若第一象限内半圆形外区域的磁场存在一上边界y=a，要想使所有粒子都不会从磁场上边界射出，则a至少为多大．

    分析 （1）分析不进入第二象限的条件，然后根据几何关系及洛伦兹力作向心力来求解速度范围；
    （2）画出打在半圆形边界的图，然后根据几何关系求得粒子运动的中心角，再根据粒子做圆周运动的周期求解时间；
    （3）分析粒子运动轨迹，将粒子运动的最高点用半圆半径表示出来，即可求得a的最小值．

    解答 解：（1）如图甲所示，当粒子在半圆外做圆周运动恰好与y轴相切时，粒子的速度为不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的最小值，
    设带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨迹圆心O2与半圆圆心O1连线与 x轴之间的夹角为θ，由几何关系可知：$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=\frac{r}{R}}\\{2rsin2θ=r}\end{array}\right.$；
    所以，$r=Rtanθ=Rtan15°=（2-\sqrt{3}）R$；
    由洛伦兹力作向心力可知，${B}_{0}vq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
    所以，$v=\frac{{B}_{0}qr}{m}=\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
    所以，从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围为$v≥\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
    （2）如图乙所示，某一速度粒子的轨迹，最终打在半圆边界上，有几何关系θ1+2θ=180°，（360°-θ2）+2θ=180°，，
    所以θ1+θ2=360°；
    所以，带电粒子在磁场中运动的总时间都相等，且为$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
    （3）如图丙所示，粒子运动轨迹的最高点为P，粒子在半圆内部运动轨迹圆心O2′与半圆圆心O1连线与x轴之间的夹角为θ′，
    则由几何关系可知，${O}_{1}{O}_{2}′=\frac{R}{cosθ′}$，
    P点的纵坐标$y=r′+{O}_{1}{O}_{2}′sin3θ′=Rtanθ′+\frac{Rsin3θ′}{cosθ′}$=$R\frac{sin（2θ′-θ′）+sin（2θ′+θ′）}{cosθ′}$=$R\frac{2sin2θ′cosθ′}{cosθ′}=2Rsin2θ′$；
    当θ′=45°时，y取得最大值2R，所以，要使所有粒子都不会从磁场上边界射出，a的最小值为2R．
    答：（1）从0点发射的所有粒子中，不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子速度的取值范围为$v≥\frac{（2-\sqrt{3}）{B}_{0}qR}{m}$；
    （2）最终打在半圆形边界且被特殊物质吸收的粒子，在磁场中运动的总时间都相等，并且该时间为$\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
    （3）要想使所有粒子都不会从磁场上边界射出，则a至少为2R．

    点评 解答带电粒子在磁场中的运动问题，要尽可能画出图，充分利用几何关系来帮助我们分析求解．

    练习册系列答案
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