Question

12．如图所示，在匀强磁场中倾斜放置的两根平行光滑的金属导轨，它们所构成的导轨平面与水平面成30°角，平行导轨间距L=1.0m．匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度 B=0.20T． 两根金属杆 ab 和 cd 可以在导轨上无摩擦地滑动．两金属杆的质量均为 m=0.20kg，电阻均为 R=0.20Ω．若用与导轨平行的拉力作用在金属杆ab上，使 ab 杆沿导轨匀速上滑并使cd杆在导轨上保持静止，整个过程中两金属杆均与导轨垂直且接触良好．金属导轨的电阻可忽略不计，取重力加速度 g=10m/s²． 求：
（1）cd 杆受安培力F安的大小；
（2）作用在金属杆拉力的功率P；
（3）若金属棒ab和cd与导轨间不光滑且动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，为使导体棒cd静止在导轨上（设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等），求ab导体棒匀速时受拉力F的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对cd棒，根据共点力平衡得出cd杆所受的安培力大小．
（2）根据安培力的大小求出电流的大小，结合闭合电路欧姆定律求出感应电动势，从而根据切割产生的感应电动势公式E=BLv求出速度的大小，由共点力平衡求出拉力的大小，根据P=Fv求出拉力的功率．
（3）当cd导体棒受最大静摩擦力沿斜面向上时，F最小，当cd导体棒受最大静摩擦力沿斜面向下时，F最大，结合共点力平衡求出F的取值范围．

解答 解：（1）金属杆 cd 静止在金属导轨上，所受安培力方向与导轨平面平行向上，
则F_安=mgsinθ
代入数据解得：F_安=1.0N．
（2）F_安=BIL 解得：I=$\frac{{F}_{安}}{BL}=\frac{1}{0.2×1}A$=5.0A
由闭合电路欧姆定律得：E=I•2R=5×0.4V=2V．
ab导体棒平动切割磁感线 E=BLv，
解得 $V=\frac{E}{BL}=10m/s$
以把导体棒为研究对象   F=mgsinθ+BIL=$2×\frac{1}{2}+0.2×5×1$N=2N
所以 P=Fv=2×10W=20W．
（3）最大静摩擦力${f}_{m}=μmgcosθ=\frac{\sqrt{3}}{6}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}N=\frac{1}{2}N$，
当cd导体棒受最大静摩擦力沿斜面向上时，F最小，
此时cd导体棒：${F_安}=BIL=mgsinθ-μmgcosθ=\frac{1}{2}N$
ab导体棒，根据平衡有：F=BIL+mgsinθ+μmgcosθ
代入数据解得F=2N．
当cd导体棒受最大静摩擦力沿斜面向下时，F最大，
此时cd导体棒：${F_安}=BIL=mgsinθ+μmgcosθ=\frac{3}{2}N$
对于ab导体棒，根据平衡有：F=BIL+mgsinθ+μmgcosθ
代入数据解得F=3N．
所以ab导体棒受拉力F取值范围2N≤F≤3N．
答：（1）cd 杆受安培力F安的大小为1.0N；
（2）作用在金属杆拉力的功率P为20W；
（3）ab导体棒匀速时受拉力F的取值范围为2N≤F≤3N．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．