Question

7．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h=1.25m处有一个可间断滴水的容器，从t=0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．则：（取g=10m/s²）
（1）每一滴水离开容器后经过多长时间t滴落到盘面上？
（2）要使水滴在盘面上的落点位于同一直线上，圆盘的角速度ω₁至少该为多大？
（3）若圆盘的角速度为ω₂=4πrad/s，且容器的加速度a=2m/s²，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离d为多大？

Answer 1

分析 （1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，水滴运动的时间等于竖直方向运动的时间，由高度决定；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数；
（3）通过匀加速直线运动的公式求出两个水滴在水平方向上的位移，再根据位移关系即可求出．

解答 解：（1）水滴在竖直方向做自由落体运动，有
h=$\frac{1}{2}g{{t}_{\;}}^{2}$
得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}=0.5s$
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在0.5s内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．
由ω₁t=kπ
即ω₁=$\frac{kπ}{0.5}$=2kπ，其中k=1，2，3，…
可知圆盘的角速度ω₁至少该为2π rad/s
（3）第二滴水离开O点的距离为${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+at•t=\frac{3}{8}a$
第三滴水离开O点的距离为${x}_{3}=\frac{1}{2}a{（2t）}^{2}+a•2t•t=a$
又△θ=ωt=4π×0.5=2π
即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上O点的同一侧，
所以：d=a-$\frac{3}{8}a$=$\frac{5}{8}$×2=1.25m；
答：（1）每一滴水离开容器后经过0.5s时间滴落到盘面上；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω₁至少该为2π rad/s
（3）若圆盘的角速度为ω₂=4πrad/s，且容器的加速度a=2m/s²，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离d为1.25m．

点评 该题涉及到运动的合成与分解，圆周运动，匀变速直线运动的相关规律，特别注意水滴离开容器后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，综合性较强，难度较大．