Question

已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂=

2GME RE

，其中G、M_E、R_E分别是引力常量、地球的质量和半径．已知G=6.67×10^-11 N?m²/kg²，c=2.9979×10⁸ m/s．求下列问题：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10³⁰ kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10^-27 kg/m³，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

Answer 1

分析：（1）任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据c≤

2GM  R

即可求解；
（2）根据质量与密度的关系先求出质量，根据（1）的分析即可求解．

解答：解：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂=

2GM R

，
其中M、R为天体的质量和半径．
对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜

2GM

c2

=

2×6.7×10-11×1.98×1030

(2.9979×108)2

m=2.94×10³ m．
故最大半径为2.94×10³ m．
（2）M=ρ?

4

3

πR³，其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，
则宇宙所对应的逃逸速度为v₂=

2GM R

，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
则R＞

3c2 8πρG

=4.01×10²⁶ m，
合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半径至少为4.24×10¹⁰光年．
答：（1）它的可能最大半径为2.94×10³ m．
（2）宇宙的半径至少应为4.24×10¹⁰光年．

点评：本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．