Question

如图18甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，此时弹簧长度L=0.1m；三个物体的质量分别为m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg。现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）。若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度‒时间图象如图18乙所示。求：

 

（1）物体B运动速度的最大值；

（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L₁=0.4m时，物体B运动的位移大小；

（3）若在某时刻使物体C以v_C=4m/s的速度向右运动，它将与正在做往复运动的物体A发生碰撞，并立即结合在一起，试求在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围。

Answer 1

解：

（1）对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，设物体B运动的最大速度为v_B，有

m_Av_A+m_Bv_B=0

      v_B=-=-

 由图乙可知，当t=时，物体A的速度v_A达到最大，v_A=-4m/s

则v_B=2m/s      

即物体B运动的最大速度为2m/s                                 （2分）

（2）设A、B的位移大小分别为x_A、x_B，瞬时速度的大小分别为v¢_A、v¢_B

       由于系统动量守恒，则在任何时刻有 m_Av¢_A-m_Bv¢_B=0

       则在极短的时间Δt内有    m_Av¢_AΔt-m_Bv¢_BΔt=0

                             m_Av¢_AΔt=m_Bv¢_BΔt

累加求和得：  m_A∑v¢_AΔt=m_B∑v¢_BΔt

                            m_Ax_A=m_Bx_B

                            x_B=x_A=x_A

  依题意  x_A+x_B=L₁- L

   解得  x_B=0.1m                                                 （4分）

（3）因水平方向系统不受外力，故系统动量守恒，因此，不论A、C两物体何时何处相碰，三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，且三个物体速度相同时具有最大弹性势能。

设三个物体速度相同时的速度为v_共

依据动量守恒定律有m_Cv_C=（m_A＋m_B＋m_C）v_共， 解得v_共 ＝1m/s                           

当A在运动过程中速度为4m/s且与C同向时，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁= v_A= v_C，设此过程中具有的最大弹性势能为E₁

由能量守恒 E₁=（m_A＋m_C）v₁² ₊m_B–（m_A＋m_B＋m_C）=1.8J

当A在运动过程中速度为-4m/s时，跟C相碰，设A、C相碰后速度为v₂，由动量守恒

m_C v_C–m_A v_A＝（m_A + m_C）v₂，  解得v₂=0  

设此过程中具有的最大弹性势能设为E₂

由能量守恒 E₂=（m_A＋m_C）v₂²＋m_Bv_B²–（m_A＋m_B＋m_C）v_共²＝0.2J     

由上可得：弹簧具有的最大弹性势能E_pm的可能值的范围：0.2J≤E_pm<1.8J。（4分）

  说明：计算题中用其他方法计算正确同样得分。