Question

如图15所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平地面上，左端固定一劲度系数为k且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为F.使一质量为m、初速度为v₀的小物体，在滑块上无摩擦地向左滑动而后压缩弹簧.弹簧的弹性势能表达式为E_p=kx²(k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量).

图15

(1)给出细绳被拉断的条件.

(2)长滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左的加速度为多大?

(3)小物体最后离开长滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是什么?

Answer 1

(1)设弹簧压缩量为x₁时绳被拉断：kx₁=F从初始状态到压缩至绳被拉断的过程中，

故细绳被拉断的条件为v₀＞

(2)设绳被拉断瞬间，小物体的速度为v₁，有

解得v₁=.

当弹簧压缩至最短时，滑块有向左的最大加速度a_m，此时，设弹簧压缩量为x₂，小物体和滑块有相同的速度为v₂，从绳被拉断后到弹簧压缩至最短时，小物体和滑块、弹簧系统的动量守恒、机械能守恒：mv₁=(M+m)v₂

由牛顿第二定律：kx₂=Ma_m

解得a_m=

(3)设小物体离开时，滑块M速度为v′，有：mv₁=Mv′，

解得m-M=

由于v₀＞0，故物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是m＞M，且满足m-M=.