Question

从阴极K发射的电子（电荷量为e=1.60×10^-19 C，质量约为m=1×10^-30 Kg），经电势差U₀=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L₁=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L₂=75cm处放置一个直径D=20cm、带有记录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计．若在两金属板上加以U₂=1000cos2πtV的交变电压，并使圆筒绕中心轴如图所示方向以n=2r/s匀速转动，试求：
（1）电子进入偏转电场的初速度v₀．
（2）电子在纸筒上的最大偏转距离．
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出电子加速后的入射速度．
（2）电子在AB板间做类平抛运动，在BD间做匀速直线运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学结合求得电子飞离金属板时的竖直偏转距离y₁和竖直方向的分速度v_y，由匀速运动的规律求得电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距y₂，在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为y=y₁+y₂．
（3）根据上题的结论得到在记录纸上的点以振幅和周期，由于记录纸上的点做简谐运动，因为圆筒每秒转2周，故可画出在1 s内纸上的图形．

解答：解：（1）动能定理得：eU₀=

1

2

mv₀²
得电子加速后的速度：v₀=

2eU0 m

=4.0×10⁷ m/s
（2）电子进入偏转电场后，由于在其中运动的时间极短，可以忽略运动期间偏转电压的变化，认为电场是稳定的，因此
电子做类平抛的运动．如右图所示．
交流电压在A、B两板间产生的电场强度E=

U2

d

=2.5×10⁴cos2πt V/m
电子飞离金属板时的偏转距离y₁=

1

2

at₁²=

1

2

eE

m

?

L 2 1

v0

=0.0125 m
电子飞离金属板时的竖直速度v_y=at₁=

eE

m

?

L1

v0

电子从飞离金属板到到达圆筒时的偏转距离y₂=v_yt₂=

eEL1L2

m v 2 0

所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏转距离为ym=y1+y2=(

L1

2

+L2)=(

L1

2

+L2)

eEL1

m v 2 0

=(

L1

2

+L2)

L1U2

2dU0

=0.20 m
（3）y_t=0.2cos2πt m
可见，在记录纸上的点在竖直方向上以振幅0.20 m、周期T=1 s做简谐运动．因为圆筒每秒转2周，故转一周在纸上留下的是前半个余弦图形，接着的一周中，留下后半个图形，合起来1 s内，记录在纸上的图形如右图所示．

答：（1）电子进入偏转电场的初速度4.0×10⁷ m/s．
（2）电子在纸筒上的最大偏转距离为0.20m．
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形如图．

点评：本题粒子电子在组合电场中运动，分析电子的运动情况，运用动能定理和运动的分解进行研究是关键．