Question

3．如图所示，在xOy坐标平面内的第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q点，圆内存在垂直xOy平面的匀强磁场．在第Ⅰ象限内存在沿y轴方向的匀强电场，电场强度为E．一质量为m、电荷量为q的粒子从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（2R，0）点射出电场，出射方向与x轴夹角α满足tanα=1.5．求：
（1）粒子进入电场时的速率v₀；
（2）匀强磁场的磁感应强度B；
（3）粒子从P点入射的方向与x轴负方向的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的速率v₀；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径，根据半径公式r=$\frac{mv}{qB}$求出磁感应强度B；
（3）粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的轨迹半径，利用几何关系求θ．

解答 解：（1）在M处，粒子的y轴分速度
  v_y=2v₀tanα       
设粒子在电场中运动时间为t，在x轴方向匀速运动：
  2R=v₀t         
设y轴方向匀加速运动的加速度为a，由
 qE=ma；     
且v_y=at      
联立解得：v₀=$\sqrt{\frac{4RqE}{3m}}$
（2）如图所示，O₁为磁场圆的圆心，O₂为粒子轨迹圆的圆心，P′为粒子射出磁场的位置，依题意可知粒子垂直y轴进入电场，则P′O₂∥PO₁，且P′O₁∥PO₁=R，O₂P=O₂P′，由几何关系可知O₁P′O₂P为菱形，即粒子轨迹圆半径等于R．
由向心力公式及牛顿第二定律：$Bq{v_0}=m\frac{v_0^2}{R}$；
联立解得：B=$\sqrt{\frac{4Em}{3qR}}$
（3）粒子从N点进入电场，由y轴方向匀加速直线运动公式有NO的长度y满足
 v_y²=2a_y
联立解得：y=1.5R；
由几何关系：R+Rcosθ=y．解得：θ=60°  
答：
（1）粒子进入电场时的速率v₀为$\sqrt{\frac{4RqE}{3m}}$．
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\sqrt{\frac{4Em}{3qR}}$；
（3）粒子从P点入射的方向与x轴负方向的夹角θ是60°．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练运用几何知识解决物理问题．