Question

（2010?永州一模）如图所示，在水平的光滑平板上的O点固定一根原长为l₀的劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧的自由端连接一个质量为m的小球（可视为质点）．若弹簧始终处在弹性范围内，今将平板以O为转轴在竖直平面内逆时针缓慢转动，直至平板变为竖直状态，则在此过程中（　　）

A．球的高度不断增大

B．若弹簧的长度l₀一定，则球的质量m足够大时，总能使球的高度先增大后减小

C．若球的质量m一定，则弹簧的长度l₀足够小时，总能使球的高度先增大后减小

D．球的高度变化情况仅与球的质量m有关，而与弹簧的原长l₀无关

Answer 1

分析：将平板以O为转轴在竖直平面内逆时针缓慢转动，直至平板变为竖直状态，小球始终处于平衡状态，抓住小球重力沿斜面方向上的分力与弹簧弹力大小相等，得出形变量的变化，从而得出高度的关系式，通过关系式判断高度的变化．

解答：解：设转过的角度为θ，则mgsinθ=kx，则弹簧的形变量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l₀-x）sinθ=(l0-

mgsinθ

k

)sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl0

2mg

)2+

kl02

4mg

．因为sinθ＜1．
所以当弹簧的长度l₀一定，则球的质量m足够大时，

kl0

2mg

＜1，则h先增大后减小．
当球的质量m一定，则弹簧的长度l₀足够小时，

kl0

2mg

＜1，则h先增大后减小．故B、C正确，A、D错误．
故选BC．

点评：本题对数学能力的要求较高，通过二次函数的方法并对sinθ的讨论得出高度的变化．