Question

4．如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2l，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场，A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q（q＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板l处有一固定档板，长为l的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小球，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔（不与金属板A接触）后与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触 Q开始，经历时间T0第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开弹簧的瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与弹簧接触时小球电荷量的$\frac{1}{k}$（k＞1）．求：
（1）小球第一次接触Q时的速度大小；
（2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触Q到本次向右运动至最远处的时间T₀的表达式；
（3）假设小球经若干次回弹后向右运动的最远点恰好能到达B板，求小球从开始释放至刚好到达B点经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出加速度，结合速度位移公式求出小球第一次接触Q时的速度大小．
（2）小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间包括两部分，一部分是小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回，另一部分是离开Q向右做减速运动的过程．根据运动学公式进行求解．
（3）根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求解第一次接触Q时的速度大小．小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间包括两部分，一部分是小球从接触Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回，另一部分是离开Q向右做减速运动的过程．根据运动学公式进行求小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间T_N的表达式，再求总时间．

解答 解：（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a．
根据牛顿第二定律有：qE=ma 
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有：v²=2al
联立解得：v=$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}}{m}}$．
（2）小球每次离开Q的瞬时速度大小相同，且等于小球第一次与Q接触时速度大小．
设小球第1次离开Q向右做减速运动的加速度为a₁，速度由v减为零所需时间为t₁，
小球离开Q所带电荷量为q₁．
根据牛顿第二定律有：q₁E=ma₁
根据运动学公式有：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$，
根据题意可知小球第1次离开Q所带电荷量为：q₁=$\frac{q}{k}$，
联立解得：t₁=$\frac{mv}{qE}$k．
设小球第2次离开Q向右做减速运动的加速度为a₂，速度由v减为零所需时间为t₂，
小球离开Q所带电荷量为q₂．
同理q₂E=ma₂，t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$，q₂=$\frac{q}{{k}^{2}}$，
联立解得：t₂=$\frac{mv}{qE}$k²，
设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零所需时间为t_n，
小球离开Q所带电荷量为q_n．
同理有：q_nE=ma_n，t_n=$\frac{v}{{a}_{n}}$，q_n=$\frac{q}{{k}^{n}}$．
联立解得：t_n=$\frac{mv}{qE}$kⁿ，
小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间为：T_n=2T₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$kⁿ．
（3）设小球经N次回弹后向右运动的最远点恰好能到达B板，
由上分析，则有，小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间为：
T_N=2T₀+$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$k^N，
故小球从开始运动到被第N次弹回两板间向右运动到达B板的总时间为：
T=T₁+T₂+…T_N=2NT₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$（1+2k+2k²+2k³+…+2k ^N-1+k^N）
答：（1）小球第一次接触Q时的速度大小$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}}{m}}$；
（2）小球从第n次接触Q到本次向右运动至最远处的时间T₀的表达式2T₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$kⁿ；
（3）小球从开始释放至刚好到达B点经历的时间2NT₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$（1+2k+2k²+2k³+…+2k ^N-1+k^N）．

点评 了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．要注意小球运动过程中各个物理量的变化．