Question

7．一群蚂蚁都从半径为R的半球形碗底沿碗面向不同方向缓慢向上爬，假定蚂蚁与碗之间动摩擦因数均为μ，设蚂蚁爬到的最高点与球心的连线和竖直方向夹角为α，则下列有关说法正确的是（　　）

• A． 质量小的蚂蚁比质量大的蚂蚁爬的高度大
• B． 蚂蚁沿碗跑到的最大高度与路径有关，沿曲线爬的更高
• C． 蚂蚁沿碗爬到的最大高度相同，且满足tanα=μ
• D． 蚂蚁沿碗爬到的最大高度为R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$）

Answer 1

分析 蚂蚁缓慢上爬，可以认为蚂蚁处于平衡状态，蚂蚁所受的摩擦力为静摩擦力，越往上爬，所受静摩擦力越大，抓住最大静摩擦力和滑动摩擦力相等求出最高位置与球心连线和竖直方向的夹角．

解答 解：A、因为蚂蚁在半球形碗内沿碗面缓慢向上爬，所以可认为蚂蚁一直处于平衡状态，蚂蚁受重力mg（竖直向下）、碗的支持力N（指向球心）、静摩擦力f（沿切面向上）三力的作用．由力的平衡规律可得N=mgcosα，静摩擦力f=mgsinα，随着蚂蚁向上爬，α逐渐增大，静摩擦力f=mgsinα也逐渐增大，当静摩擦力达到最大时即爬到最高点，此时f=mgsinα=μmgcosα，所以tanα=μ，与蚂蚁质量及运动路径无关，故C正确，AB错误．
D、由几何关系可得最大高度为h=R（1-cosθ）=R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$），故D正确．
故选：CD

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用共点力平衡进行求解，同时能结合几何关系解题，难度适中．