Question

如图1所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L=8m，传送带的皮带轮的半径均为R=0.2m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45m，现有一个旅行包（视为质点）以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ=0.6．试讨论下列问题：

（1）若传送带静止，旅行包滑到B端时没有及时取下，旅行包将从B端滑落．则包的落地点距B端的水平距离为多少？
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，当皮带轮的角速度ω值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所求的水平距离？
（3）设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，在图2所示的坐标系中画出旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的图象（只需画出ω≤100rad/s时的图象）．

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑动，受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列式求加速度，然后根据速度位移公式列式求解末速度，最后根据平抛运动的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直减速，到达最右端的速度与传送带不动时的速度相同，则平抛的初速度相同，射程也就相同，故只需传送带的速度小于旅行箱到达最右端的速度即可；皮带的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先减速后匀速，根据运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．
（3）分三种情况进行讨论分析：一直匀减速运动，先匀变速后匀速，一直匀加速运动，进而求出角速度与水平位移的关系．

解答：解：（1）旅行包做匀减速运动，加速度大小a=μg=6m/s²
包到达B端的速度为：v=

v 2 0 -2aL

=

102-2×6×8

m/s=2m/s
包的落地点距B端的水平距离为：s=vt=v

2h g

=2×

2×0.45 10

m=0.6m
（2）包在传送带上须匀减速运动，且到达B端的速度为v=2m/s时，水平距离才不变．
皮带轮的临界角速度ω=

v

R

=

2

0.2

rad/s=10rad/s
∴ω值的范围是ω≤10rad/s
（3）①当ω≤10rad/s时，包一直减速，在B端速度2m/s，则：
平抛的水平距离为s=0.6m；
②当10rad/s＜ω′＜70rad/s时，水平先减速或加速再匀速，包在B端的速度与传送带的速度相同，则：
平抛的水平距离为s′=v′t=v′

2h g

=ωR

2h g

=0.06ω
③当ω≥70rad/s时，包一直加速，在B端速度14m/s，则平抛的水平距离为
s″=4.2m．
则旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的图象如图所示．
答：
（1）包的落地点距B端的水平距离是0.6m；
（2）设皮带轮顺时针匀速运动，且皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离是2.4m；
（3）图象如图所示．

点评：本题关键是对旅行包的运动情况分析清楚，然后根据牛顿第二定律、运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．