Question

已知一颗人造卫星在半径为R的某行星上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的弧长为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是θ弧度，已知万有引力常量为G．求：（以下各问均用题中所给字母表示） 
（1）人造卫星运行时的线速度、角速度、及距该行星表面的高度h；
（2）该行星的质量M；
（3）该行星的第一宇宙速度 v_l．

Answer 1

分析：（1）线速度的定义为v=

s

t

，角速度的定义为ω=

θ

t

，角速度与线速度的关系为r=

v

ω

，则该卫星距离该行星表面的高度为h=r-R=

s

θ

-R．
（2）万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

，有M=

v2r

G

，把v和r的值代入，化简得该行星的质量． 
 （3）万有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

得 v1=

GM R

，把M的值代入，化简得该行星的第一宇宙速度．

解答：解：（1）根据线速度的定义得v=

s

t

根据角速度的定义得ω=

θ

t

                 
根据角速度与线速度的关系得r=

v

ω

所以该卫星距离该行星表面的高度为h=r-R=

s

θ

-R
（2）根据万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

得M=

v2r

G

把v和r的值代入，化简得
M=

s3

θGt2

 
 （3）当卫星贴近该行星表面飞行时，万有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

得 v1=

GM R

把M的值代入，化简得
v1=

s3 θRt2

答：（1）人造卫星运行时的线速度为

s

t

、角速度为

θ

t

、距该行星表面的高度h为

s

θ

-R；
（2）该行星的质量M为

s3

θGt2

；
（3）该行星的第一宇宙速度 v_l为

s3 θRt2

．

点评：本题要熟悉线速度的定义和角速度的定义，以及角速度与线速度的关系，这是解决此题的前提．