Question

如图所示，一块质量为M=2kg，长L=lm的匀质木板放在足够长的水平桌面上，初始时速度为零．板的最左端放置一个质量m=lkg的小物块，小物块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.2，小物块上连接一根足够长的水平轻质细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮（细绳与滑轮间的摩擦不计，木板与滑轮之间距离足够长，g=10m/s²），要求：
（1）若木板被固定，恒力F=4N向下拉绳，求小木块滑离木板时的速度大小v₁；
（2）若不固定木板，且板与桌面间光滑，某人仍以恒力F=4N向下拉绳，求小木块滑离木板时的速度大小v₂；
（3）若不固定木板，若板与桌面间有摩擦，某人以恒定速度v=1m/s向下拉绳，为使物块能从板的右端滑出，求板与桌面间的动摩擦因数μ₂．

Answer 1

分析：（1）木板被固定，小物块受绳子的拉力和摩擦力，向右做匀加速直线运动，根据运动学基本公式就可求出速度大小v₁；
（2）不固定木板，那木板在摩擦力的作用下也要做匀加速运动，但板与桌面间光滑，所以板只受小物块对它的摩擦力作用，根据牛顿第二定律及木板与小物块的位移关系求出小木块滑离木板时的速度大小v₂ ；
（3）不固定木板且板与桌面间有摩擦力，物块的受力情况不变，木板受物块的摩擦力的同时受桌面给它的摩擦力，对其进行受力分析求出加速度，为使物块能够从右端滑下，就要求当物块到达右端时的速度比木板的速度大，刚好相等时是临界条件，再根据位移时间关系及牛顿第二定律即可求解．

解答：解：（1）对小物块受力分析
       由牛顿第二定律：F-μ₁mg=ma
       得：a=2m/s²　        
       由运动学公式：v₁²=2aL
       得：v₁=2m/s          
    （2）对小物块、木板受力分析
      由牛顿第二定律：F-μ₁mg=ma₁
      得：a₁=2m/s²
      由：μ₁mg=Ma₂
      得：a₂=1m/s²
      物块的位移：x1=

1

2

a1t2，
     木板的位移：x2=

1

2

a2t2
     又：x₁-x₂=L　        
     解得：t=

2

s         
     根据速度时间公式得：v2=a1t =2

2

m/s．
   （3）设物块在板上滑行的时间为t，物块滑到木板右端时木板的速度大小刚好为v，板与桌面间的动摩擦因数μ₂．
      对木板：

[μ1mg-μ2(m+M)g]

M

t=v
      对物块：vt-

v

2

t=L
      解得：

Mv

μ1mg-μ2(m+M)g

=

2L

v

      解得：μ2 =

2μ1mgL-Mv2

2(m+M)gL

=

1

30

为了使物块能从板的右端滑出，μ2＞

1

30

．
 答：（1）小木块滑离木板时的速度大小v₁为2m/s；（2）小木块滑离木板时的速度大小v₂为2

2

s；（3）为使物块能从板的右端滑出，求板与桌面间的动摩擦因数μ₂必须大于

1

30

．

点评：本题是相对运动的题目，要对每个物体分别分析其运动情况，利用运动学的基本公式，再根据速度和位移的关系及牛顿第二定律求解．本题运动过程较为复杂，难度较大．