Question

17．如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r．重力加速度为g．开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为2：1．求：
（1）棒cd在水平导轨上的最大加速度；
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热，
（4）从棒cd开始运动到离开桌面过程中，流过棒CD的电荷量．

Answer 1

分析 （1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．根据ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL结合求出安培力，即可由牛顿第二定律求解最大加速度．
（2）ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据动量定恒和两棒离开导轨做平抛运动的时间相等求出棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（3）根据能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．
（4）对cd棒，运用动量定理求解电荷量．

解答 解：（1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．
设ab棒进入水平导轨的速度为v₁，ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
  2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$ ①
ab棒刚进入水平导轨时，设此时回路的感应电动势为E，
 E=BLv ③
 I=$\frac{E}{2r}$ ④
cd棒受到的安培力为：F_cd=BIL ⑤
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
 a=$\frac{{F}_{cd}}{m}$ ⑥
联立①～⑥解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$ ⑦
（2）离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，取向右为正方向，根据系统的动量定恒得：
   2mv₁=2mv₁′+mv₂′⑧
依题意v₁′＞v₂′，⑨
两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，
由平抛运动水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=2：1
解得，v₁′=2v₂′，⑩
解得 v₁′=$\frac{4\sqrt{2gR}}{5}$，v₂′=$\frac{2\sqrt{2gR}}{5}$，⑩
（3）根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为
  Q=$\frac{1}{2}$×2m${v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}$×2m${v}_{1}^{′2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{′2}$）（11）
由①⑧⑩（11）解得，Q=$\frac{14}{25}$mgR
（4）对cd棒，由动量定理得：
  B$\overline{I}$L•△t=mv₂′
又 q=$\overline{I}$△t
解得 $q=\frac{{2m\sqrt{2gR}}}{5BL}$
答：
（1）棒cd在水平导轨上的最大加速度为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别为$\frac{4\sqrt{2gR}}{5}$和$\frac{2\sqrt{2gR}}{5}$；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是$\frac{14}{25}$mgR．
（4）从棒cd开始运动到离开桌面过程中，流过棒CD的电荷量是$\frac{2m\sqrt{2gR}}{5BL}$．

点评 本题是电磁感应与电路、磁场、力学等知识的综合应用，根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况．运用动量定理求电磁感应中的电量是常用的方法．