Question

20．水平光滑且绝缘的桌面上，在相距h=2m的区域间，有如图所示的周期性分布的匀强磁场，磁场区域足够大，每个小磁场区域宽度均为d=1m，磁感应强度B=0.5T，方向如图．正方形闭合导线框边长l=1m，电阻R=2Ω．，质量m=0．lkg；开始时，线框处于图示位置．

（1）从图示位置开始，用外力拉动线框，使它以v=2m/s的速度匀逮向右运动经过磁场区域，求经过t=2s，外力做的功；
（2）从图示位置开始，使整个磁场以v₀=2m/s的速度向左匀速运动，求：
①线框速度v=1m/s时的加速度大小；
②最终线框相对于磁场区域移动的距离．

Answer 1

分析 （1）线框匀速运动，左右两个边一直做切割磁感线运动，根据右手定则判断电流方向，根据左手定则判断安培力方向，得到安培力一直向左；根据切割公式求解感应电动势，根据欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式求解安培力，根据平衡条件得到拉力大小，根据W=Fx求解拉力功；
（2）①使整个磁场以v₀=2m/s的速度向左匀速运动，线框相对磁场的初速度为向右，大小为2m/s，根据切割公式求解感应电动势大小，根据欧姆定律和安培力公式求解安培力大小，根据牛顿第二定律列式求解加速度大小；
②导线框水平方向受安培力，做减速运动，采用微元法，根据牛顿第二定律列式，根据切割公式、欧姆定律和安培力公式表示安培力，根据a=$\frac{△v}{△t}$表示加速度，然后求和即可．

解答 解：（1）线框在不同位置时切割磁感线产生的电动势大小相等，故：E=2Blv，
电流方向不同，但是大小相等，故：I=$\frac{E}{R}$，
线框匀速运动，2s内拉力做的功与安培力做功相等，转化为焦耳热：Q=I²Rt，
解得：Q=4J；

（2）①当线框速度v=1m/s时，切割磁感线的电动势：E=2Bl（v₀-v），
电流：I=$\frac{E}{R}$，
安培力与相对运动的方向相反，故：F_安=2BIl，
加速度：a=$\frac{{F}_{安}}{m}$，
解得：a=5m/s²；
②最终当线框速度与磁场相等时线框磁通量不再变化，最后匀速运动，
当线框在磁场中运动时，有：E=2Bl（v₀-v），I=$\frac{E}{R}$，
${F_安}={B_左}Il+{B_右}Il=\frac{{4{B^2}{l^2}（{v_0}-v）}}{R}$，
F_安=ma，
可得：$\frac{{4{B^2}{l^2}（{v_0}-v）}}{R}=m\frac{△v}{△t}$，
$\sum\frac{{4{B^2}{l^2}{v_{相对}}}}{R}△t=m{v_0}$△t，
$\frac{{4{B^2}{l^2}{x_{相对}}}}{R}=m{v_0}$，
解得：x_相对=0.4m；
答：（1）经过t=2s，外力做的功为4J；
（2）①线框速度v=1m/s时的加速度大小为5m/s²；
②最终线框相对于磁场区域移动的距离为4m．

点评 本题是滑轨问题的创新，研究对象变为了导线框，而且磁场是周期性变化的，要明确相对运动，关键是结合切割公式、欧姆定律、安培力公式列式，第二问要采用微元法解题，难度较大．