Question

12．质量为m的带正电小球由空中某点自由下落，下落高度h后在整个空间加上竖直向上的匀强电场，再经过相同时间小球又回到原出发点，不计空气阻力，且整个运动过程中小球从未落地，重力加速度为g，则（　　）

• A． 从加电场开始到小球返回原出发点的过程中，小球电势能减少了mgh
• B． 从加电场开始到小球下落最低点的过程中，小球动能减少了mgh
• C． 从开始下落到小球运动至最低点的过程中，小球重力势能减少了$\frac{5}{3}$mgh
• D． 小球返回原出发点时的速度大小为$\sqrt{7gh}$

Answer 1

分析 小球先做自由落体运动，加上匀强电场后小球先向下做匀减速运动，后向上做匀加速运动．由运动学公式求出t秒末速度大小，加上电场后小球运动，看成一种匀减速运动，自由落体运动的位移与这个匀减速运动的位移大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求电场力F，由W=Fh求得电场力做功，即可得到电势能的变化．由动能定理得求出A点到最低点的高度，得到重力势能的减小量．

解答 解：A、小球先做自由落体运动，后做匀减速运动，两个过程的位移大小相等、方向相反．设电场强度大小为E，加电场后小球的加速度大小为a，运动时间为t，取竖直向下方向为正方向，则由$\frac{1}{2}$gt²=-（vt-$\frac{1}{2}$at²）
又v=gt
解得：a=3g，
由牛顿第二定律得：a=$\frac{qE-mg}{m}$，
联立解得：qE=4mg
则整个过程，电场力做功为W=qEh=4mgh，那么小球电势能减少了4mgh．故A错误．
B、加电场时小球的速度大小为v=gt，从加电场开始到小球下落最低点的过程中，
小球动能减少为：△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m（gt）²=mg•$\frac{1}{2}$gt²
对于自由下落过程，h=$\frac{1}{2}$gt²，得：△E_k=mgh．故B正确．
C、设加电场位置到下落最低点过程小球下落的高度为h′，
则由v²=2ah′得：h′=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{（gt）^{2}}{2×3g}$=$\frac{1}{3}$h，
从开始下落到小球运动至最低点的过程中，小球重力势能减少为：△E_P=mg（h+h′）=$\frac{4}{3}$mgh．故C错误．
D、小球返回原出发点时的速度大小为v′=v-at=-2gt=-2v，又v=$\sqrt{2gh}$，则v′=-2$\sqrt{2gh}$，大小为2$\sqrt{2gh}$，故D错误．
故选：B．

点评 本题要分析小球的运动过程，分两段进行研究，采用整体法研究匀减速运动过程，抓住两个过程之间的联系：位移大小相等、方向相反，运用牛顿第二定律、运动学规律和动能定理结合进行研究．