Question

7．万有引力定律清楚的向人们揭示复杂运动的背后隐藏着简洁的科学规律，天上和地上的万物遵循同样的科学法则．
（1）当卡文迪许测量出引力常数G以后，他骄傲地说自己是“称量出地球质量”的人．当时已知地面的重力加速度g和地球半径R，根据以上条件，求地球的质量；
（2）随着我国“嫦娥三号”探测器降落月球，“玉兔”巡视器对月球进行探索，我国对月球的了解越来越深入．若已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月，嫦娥三号在降落月球前某阶段绕月球做匀速圆周运动的周期为T，试求嫦娥三号该阶段绕月球运动的轨道半径．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，可解得地球的质量M．
（2）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力列式，嫦娥三号在降落月球前某阶段绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）设地球的质量为M，某物体的质量为m，则根据地球对物体的吸引力就是物体的重力可知：mg=$\frac{GMm}{R^2}$，
解得地球的质量为：M=$\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）因为月球表面的重力加速度为g_月，故有：mg_月=$\frac{{G{M_月}m}}{{{R_月}^2}}$，
嫦娥三号在降落月球前某阶段绕月球做匀速圆周运动，则有：$\frac{{G{M_月}{m_星}}}{r^2}$=${m_星}\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$，
联立以上两式，解之得：嫦娥三号该阶段绕月球运动的轨道半径为：r=$\root{3}{{\frac{{{g_月}{T^2}{R_月}^2}}{{4{π^2}}}}}$．
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）嫦娥三号该阶段绕月球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{{R}_{月}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 本题要掌握两个关系：星球表面的物体受到的重力等于万有引力；环绕天体绕中心天体做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供．这两个关系可以解决天体运动的一切问题．