Question

18．如图甲所示，平行正对金属板A、B间距为d，板长为L，板面水平，加电压后其间匀强电场的场强为E=$\frac{2}{π}$V/m，方向竖直向上．板间有周期性变化的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，设垂直纸面向里为正方向．t=0时刻一带电粒子从电场左侧靠近B板处以水平向右的初速度v₀开始做匀速直线运动．（设A、B板内侧与粒子绝缘且光滑，重力加速度取g=10m/s²）

（1）判断粒子电性的正负，并求粒子的比荷
（2）t₀时刻起，经过1s粒子第一次速度变为水平向左，则B₁多大？
（3）若B₂=$\frac{1}{2}$B₁，t₀=$\frac{2}{π}$s，要使粒子能平行向右到达A板的右端，试求d与L比值的最大值k_max与最小值k_min，并求比值的取值范围△k的最大值．

Answer 1

分析 （1）抓住粒子做匀速直线运动，重力和电场力平衡，根据平衡得出粒子的电性以及比荷的大小．
（2）t₀时刻起粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周速度第一次变为水平向左，结合周期公式求出磁感应强度的大小．
（3）电场力和重力平衡，粒子在磁场中做圆周运动，根据半径公式求出粒子在不同磁场中做圆周运动的半径，要使粒子能平行向右到达A板右边沿，则粒子在两种磁场中回旋半周的次数相同，结合几何关系进行求解．

解答 解：（1）因为粒子做匀速直线运动，重力与电场力平衡，电场力竖直向上，故粒子带正电．
有：Eq=mg
得：$\frac{q}{m}=\frac{g}{E}=5πC/kg$
（2）t₀时刻起粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周速度第一次变为水平向左，设粒子在磁感应强度为B₁的磁场中运动周期为T₁，设粒子质量为m，电荷量为q，
有：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$，且$\frac{1}{2}$T₁=1s
解得：B₁=0.2T
（3）设磁感应强度为B₁和B₂时粒子运动的半径分别为R₁和R₂，
有：${R}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}=\frac{{v}_{0}}{π}$，${R}_{2}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}=\frac{2{v}_{0}}{π}$，
要使粒子能平行向右到达A板右边沿，则粒子在两种磁场中回旋半周的次数相同，设为n，有：
$d=2n（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{6n{v}_{0}}{π}$，
${L}_{min}=n{v}_{0}{t}_{0}=\frac{2n{v}_{0}}{π}$，L_max=$（n+1）{v}_{0}{t}_{0}=\frac{2（n+1）{v}_{0}}{π}$（n=1，2，3，…）
${k}_{max}=\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{n{v}_{0}{t}_{0}}=3$，
${k}_{min}=\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{（n+1）{v}_{0}{t}_{0}}=\frac{3n}{n+1}$，（n=1，2，3，…）
$△k={k}_{max}-{k}_{min}=\frac{3}{n+1}$，当n=1 时，△k有最大值，且最大值为：△k_max=1.5．
答：（1）粒子的比荷为5πC/kg；
（2）B₁的大小为0.2T；
（3）比值的取值范围△k的最大值为1.5．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，知道电场力和重力平衡，受洛伦兹力提供向心力，做圆周运动，结合半径公式、周期公式进行求解，第三问对数学能力要求较高，属于压轴部分，需加强这方面的训练．