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19.如图所示,倾角为θ的固定粗糙斜面上有一物块A,物块到斜面底端的高度为h,紧靠斜面底端有一长为L的长木板B停放在光滑的水平面上,斜面底端刚好与长木板上表面左端接触,长木板上表面粗糙,右端与-$\frac{1}{4}$圆弧面C粘接在一起,圆弧面左端与木板平滑相接,现释放物块A让其从斜面上滑下.圆弧面表面光滑,圆弧面的半径为R,物块与斜面长木板表面的动摩擦因数均为μ,A、B、C三者的质量相等,重力加速度大小为g,不计物块A从斜面滑上木板时的机械能损失.
(1)求物块A到达斜面底端时的速度大小v;
(2)改变物块A由静止释放的位置,若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点,求其开始下滑时到斜面底端的高度h1
(3)在(2)中情况下,求物块A从圆弧面最高点返回后停留在长木板B上的位置到长木板右端的距离s (设物块A不会从长木板B的左端滑下).

分析 (1)由动能定理求物块A到达斜面底端时的速度大小v;
(2)先由动能定理求出物块A到达斜面底端时的速度表达式.物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点时,A与C的速度相同.由A、B、C系统的水平动量守恒和能量守恒结合求高度h1
(3)最终物块A停留在长木板B上,由水平动量守恒列式,求出最终三者的共同速度.再由能量守恒列式求s.

解答 解:(1)物块A在斜面上下滑的过程,由动能定理得:
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得:v=$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$
(2)当物块开始下滑时到斜面底端的高度h1时,物块A在斜面上下滑的过程,由动能定理得:
mgh1-μmgcosθ•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得:v1=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$
设物块A滑到圆弧面C的最高点时的速度大小为v2,取向右为正方向,由水平动量守恒得:
mv1=3mv2
由功能关系有:μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv22-mgR
解得:h1=$\frac{3(μL+R)tanθ}{2(tanθ-μ)}$
(3)经分析可知,当物块A最终停留在长木板B上时,物块、木板和圆弧面具有共同的速度,设为v3.根据动量守恒定律得:
mv1=3mv3
上式中 v1=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$,且 h1=$\frac{3(μL+R)tanθ}{2(tanθ-μ)}$
由功能关系有:μmg(L+s)=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}•3m{v}_{3}^{2}$
解得:s=$\frac{R}{μ}$
答:(1)物块A到达斜面底端时的速度大小v是$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$;
(2)改变物块A由静止释放的位置,若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点,其开始下滑时到斜面底端的高度h1是$\frac{3(μL+R)tanθ}{2(tanθ-μ)}$.
(3)物块A从圆弧面最高点返回后停留在长木板B上的位置到长木板右端的距离s是$\frac{R}{μ}$.

点评 解决本题的关键是要把握功与能的关系,挖掘隐含的临界条件:物块到达C的最高点时三个物体的速度相等.最终物块A停留在B上时三者速度又相同.

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