Question

11．如图甲所示，A和B是真空中、面积很大的平行金属板，O是一个可以连续产生粒子的粒子源，O到A、B的距离都是l．现在A、B之间加上电压，电压U_AB随时间变化的规律如图乙所示．已知粒子源在交变电压的一个周期内可以均匀产生大量粒子，粒子质量为m、电荷量为-q．这种粒子产生后，在电场力作用下从静止开始运动．设粒子一旦碰到金属板，它就附在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B板电势．不计粒子的重力，不考虑粒子之间的相互作用力．已知上述物理量l=0.6m，U₀=1.2×10³V，T=1.2×10^-2S，m=5×10^-10kg，q=1×10^-7C

（1）0-$\frac{T}{2}$ 和$\frac{T}{2}$-T两段时间内粒子的加速度分别为多大；
（2）在t=0时刻出发的粒子，会在什么时刻到达哪个极板；
（3）在0-$\frac{T}{2}$范围内，哪段时间内产生的微粒不能到达A板；
（4）到达B板的粒子中速度最大为多少．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求的加速度
（2）根据电势高低判断粒子向哪个极板运动，再根据粒子做初速度为0的匀加速直线运动求出粒子运动的时间即可；
（3）分别求出粒子运动的加速度，由粒子先加速运动再减速运动，到达A板时速度恰好为零，此时是恰好还能到达A的粒子，在此之前的粒子都可以到达A板，在此之后的粒子将不能到达A板．
（4）根据动能定理．即可求出到达B板的微粒中最大速度．

解答 解：（1）在0-$\frac{T}{2}$ 内产生的加速度为${a}_{1}=\frac{q{U}_{0}}{2ml}=\frac{1×1{0}^{-7}×1.2×1{0}^{3}}{2×5×1{0}^{-10}×0.6}m/{s}^{2}=2×1{0}^{5}m/{s}^{2}$
在$\frac{T}{2}$-T内产生的加速度为${a}_{1}=\frac{q{•2U}_{0}}{2ml}=\frac{1×1{0}^{-7}×2.4×1{0}^{3}}{2×5×1{0}^{-10}×0.6}m/{s}^{2}=4×1{0}^{5}m/{s}^{2}$
（2）根据图乙可知，从t=0时刻开始，A板电势高于B板电势，粒子向A板运动，设粒子到达A板的时间为t，并假设在半个周期内到达A板，则有：$l=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{6}×1{0}^{-3}s＜\frac{T}{2}$
故在t时刻到达A板
（3）设在0-$\frac{T}{2}$ 内经过时间t加速，则在时间t内通过的位移为${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，ts末的速度为v=a₁t
电压反向后速度减为零通过的位移为${x}_{2}=\frac{（{a}_{1}t）^{2}}{2{a}_{2}}$
刚好达不到A板通过的位移为l=x₁+x₂
联立解得t=2×10^-3s
故在（2×10^-3，6×10^-3）内产生的微粒不能到达A板
（4）恰好未撞上A板的粒子，反向加速距离最大，所获得的速度最大，为：${v}_{m}^{2}=2{a}_{2}•2l$
解得：${v}_{m}=400\sqrt{6}m/s$
答：（1）0-$\frac{T}{2}$ 和$\frac{T}{2}$-T两段时间内粒子的加速度分别为2×10⁵m/s²，4×10⁵m/s²；
（2）在t=0时刻出发的粒子，会在$\sqrt{6}×1{0}^{-3}s$时刻到达A极板；
（3）在0-$\frac{T}{2}$范围内，在（2×10^-3，6×10^-3）内产生的微粒不能到达A板；
（4）到达B板的粒子中速度最大为$400\sqrt{6}m/s$

点评 粒子在交变电场作用下做加速运动，当电场改变方向时粒子所受电场力同时改变方向，根据粒子在电场中做匀变速直线运动根据运动规律求解粒子的运动情况．掌握规律是解决问题的关键．