Question

18．汽车由A地从静止出发，沿平直公路驶向B地，汽车先以加速度a₁做匀加速运动，中间做匀速运动，最后以加速度大小a₂做匀减速运动，到B地恰好停止，已知A、B两地的路程为x，求汽车驶完全程的最短时间和最大速度．

Answer 1

分析 使汽车由A到达B的时间最短，汽车必须没有匀速过程，只有匀加速运动和匀减速运动，即汽车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，根据速度公式得到匀加速运动的时间与总时间t的关系，并求出最大速度，根据平均速度公式求出最短时间t．

解答 解：要使列车由A到达B的时间最短，列车必须先匀加速运动，而后立即匀减速运动．
设物体匀加速直线运动和匀减速直线运动的时间分别为t₁和t₂，最大速度为v．
则有：v=a₁t₁，v=a₂t₂
得到 a₁t₁=a₂t₂
由数学知识变形得：$\frac{{t}_{2}}{{t}_{1}}=\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$，
则$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{a}_{2}}$，
而t₁+t₂=t
得到${t}_{1}=\frac{{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$，
则v=a₁t₁=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}t}{{a}_{1}+{a}_{2}}$，
由x=$\frac{v}{2}{t}_{1}+\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{v}{2}t$得，最短时间t=$\sqrt{\frac{2x（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度v=$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}x}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．
答：汽车驶完全程的最短时间为$\sqrt{\frac{2x（{a}_{1}+{a}_{2}）}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度为$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}x}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．

点评 本题涉及两个过程的运动学问题，关键要抓住两个过程之间速度联系．也可以运用作速度图象的方法求解．