Question

【题目】一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v1=2.5m/s
（1）若船在静水中的速度为v2=5m/s，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度v2=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移．

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．

t= = s=36s

那么沿着水流方向的位移为x=v1t=2.5×36=90m/s；

则使船在最短的时间内渡河的位移为s= =90 m

②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一角度α．

垂直河岸过河这就要求v水平=0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v2sinα=v1

得α=30°．

所以当船头向上游偏30°时航程最短，s′=d=180m．

答：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝应朝垂直河岸方向，用36s，位移是90 m；

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝上游与河岸成30°，位移，180m；

（2）解：因v船＜v水，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成θ角，

如下图所示，

cosθ= = =0.6，则θ=53°，

最短航程为xmin= = ×180m=300m

所需要的时间为t′= = =150s；

答：要使船渡河的航程最短，船头应偏向上游53度，所用时间为150s，位移是300m．

【解析】当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短；若船速大于水流速度时，当合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，若船速小于水流速度时，合速度垂直船速，对应的船航程最短，结合运动学公式与平行四边形定则，即可求解．