Question

8．如图所示，半径R=1.25m的竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，质量为m₁=0.2kg的小滑块A和质量为m₂=0.6kg的小滑块B分别静止在圆轨道的最高点和最低点．现将A无初速度释放，A与B碰撞后A沿圆弧轨道上升的最大高度h=0.05m．已知A和B与桌面之间的动摩擦因数均为μ=0.2．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）碰撞前瞬间A的速率v₀；
（2）碰撞过程系统损失的机械能；
（3）A和B最后停在桌面上的距离l．

Answer 1

分析 （1）A在圆弧轨道下滑的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出碰撞前A的速度．
（2）根据机械能守恒定律求出碰撞后A的速度，A、B碰撞的过程中动量守恒，根据动量守恒定律求出碰撞后B的速度，由功能关系判断损失的机械能．
（3）对A、B在水平面上运动的过程，运用动能定理求出A、B在桌面上滑动的距离，它们的差即为所求．

解答 解：（1）滑块A下滑过程，由机械能守恒定律得：
  m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₀²
解得碰撞前瞬间A的速率：v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s．
（2）A返回的过程中机械能守恒，得：
${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
代入数据得：${v}_{1}=\sqrt{2×10×0.05}=1$m/s
A、B碰撞过程，取水平向右为正方向，由动量守恒和动能守恒得：
    m₁v₀=-m₁v₁+m₂v₂，
 解得碰撞后瞬间B的速率：v₂=2m/s．
碰撞过程中损失的机械能：$△E=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入数据得：△E=1.2J
（3）A在水平面上运动的过程，由动能定理得：
 0-$\frac{1}{2}$m₁v₁²=-μm₁gx₁，
代入数据得：x₁=0.25m
B在水平面上运动的过程，由动能定理得：
 0-$\frac{1}{2}$m₂v₂²=-μm₂gx₂，
代入数据解得B沿水平桌面滑动的距离：x₂=1m．
A和B最后停在桌面上的距离：l=x₂-x₁=1-0.25=0.75m
答：（1）碰撞前瞬间A的速率是5m/s；
（2）碰撞过程系统损失的机械能是1.2J；
（3）A和B最后停在桌面上的距离是0.75m．

点评 本题的关键要明确弹性碰撞遵守动量守恒定律和机械能守恒定律，质量相等时碰撞后交换速度．要合理地选择研究对象和过程，选择合适的规律进行研究．