Question

一根内径均匀，一端封闭，另一端开口的直玻璃管，长l=100cm，用一段长h=25cm的水银柱将一部分空气封在管内，将其开口朝上竖直放置，被封住的气柱长l₀=62.5cm．这时外部的大气压p₀=75cmHg，环境温度t₀=-23℃，如图所示，现在使气柱温度缓慢地逐渐升高，外界大气压保持不变．
（1）求温度升高到多少℃时，水银面恰能升到管口？
（2）试分析为保持管内水银柱不全部溢出，温度能升高的最大值，并求出这个温度下气柱的长．

Answer 1

选取封闭气体为研究对象，在温度升高过程中，可分成两个过程研究．
（1）第一过程：从气体开始升温到水银升到管口，此时气体温度为T，管的横截面积为S，此过程为等压过程，根据盖?吕萨定律有：

l0S

T0

=

l′S

T

整理得：T=

l′

T0

其中：T₀=t₀+273=250K
l′=75cm
l₀=62.5cm．
代入数据解得：T=300（K）
t=T-273=27℃
（2）第二过程，温度达到300K时，若继续升温，水银开始溢出，设当温度升高到T′时，因水银溢出使水银减短了x，此过程气体的三个状态参量p、V、T均发生了变化．
p₁=p₀+h=75+25=100（cmHg）
V₁=l′s=75S
T₁=300K
p₂=（p₀+h-x）=（100-x）cmHg
V₂=（75+x）S
求T₂
根据状态方程：

P1V1

T1

=

P2V2

T2

        
得：

100×75S

300

=

(100-x)(75+x)

T2

整理得：T₂=-

1

25

x²+x+300
根据数学知识得当x=12.5m时T₂取得最大值，且最大值T_2max=306.25K即当管内气体温度升高到T_2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．
答：（1）温度升高到27℃时，水银面恰能升到管口．
（2）气体温度升高到T_2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm．