Question

4．如图甲所示，竖直平面内有一半径R=1m的光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB，其半径AO水平，其右侧紧靠有质量M=1kg的木板，木板静止在水平地面CD上，木板上表面与轨道AB的末端B相切．现将质量m=2kg的小物块（可视为质点）从A点正上方h高度P处由静止释放，进入轨道AB，滑上木板，木板立即向右运动．已知物块滑上木板后的速度-时间图象如图乙所示，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上，取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）h值；
（2）物块与木板间的动摩擦因数μ₁和木板与地面间的动摩擦因数μ₂；
（3）木板运动的总路程L和系统因摩擦产生的总热量Q．

Answer 1

分析 （1）由图乙可读出物块经过B点时的速度大小为υ_B=5m/s，物块由P处运动到B处的过程，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求h．
（2）物块滑上木板后做匀减速运动，木板做匀加速运动，速度相同后一起做匀减速运动，由v-t图象的斜率求出两段过程的加速度，由牛顿第二定律求物块与木板间的动摩擦因数μ₁和木板与地面间的动摩擦因数μ₂．
（3）根据位移时间公式求出木板运动的总路程L．根据能量守恒定律求出摩擦生热Q．

解答 解：（1）由图乙知，物块经过B点时的速度大小为：υ_B=5m/s
物块由P处运动到B处的过程，根据机械能守恒定律有：
mg（R+h）=$\frac{1}{2}$mυ_B²                  
得：h=0.25m                         
（2）由图乙知，t=$\frac{5}{6}$s时物块与木板的速度大小均为为：υ=2.5m/s
0～$\frac{5}{6}$s时间内，物块的加速度大小为：a₁=$\frac{{v}_{B}-v}{t}$=3m/s²      
木板的加速度大小为：a₂=$\frac{υ}{t}$=3m/s²      
根据牛顿第二定律有：
μ₁mg=ma₁                           
μ₁mg-μ₂（ M+m ）g=Ma₂            
得：μ₁=0.3，μ₂=0.1                    
（3）假设t=$\frac{5}{6}$s后物块与木板相对静止地一起做匀减速直线运动，则有：
μ₂（ M+m ）g=（ M+m ）a₃              
得：a₃=1m/s²
由于a₃＜a₁，所以假设成立
对木板，有：υ²=2a₂L₁，υ²=2a₃L₂    
则得：L=L₁+L₂=$\frac{25}{6}$m                   
最终物块与木板都静止，根据能量守恒定律，系统因摩擦产生的总热量为：
Q=$\frac{1}{2}$mυ_B²=25J   
答：（1）h值是0.25m；
（2）物块与木板间的动摩擦因数μ₁是0.3，木板与地面间的动摩擦因数μ₂是0.1；
（3）木板运动的总路程L是$\frac{25}{6}$m，系统因摩擦产生的总热量Q是25J．

点评 解决本题时关键要明确物体的运动情况，采用隔离法和整体法相结合的方法研究物体的加速度，同时要分析清楚能量是如何如何转化的．