Question

4．如图所示在水银槽中倒扣一只质量为m的试管，试管内封闭着一定质量的理想气体，在环境温度一定的情况下，试管漂浮在水银面上方，此时试管内水银面与水银槽内水银面的高度差为H₁，现缓慢向下压试管到某一深度，试管恰好能处于悬浮状态，此时试管内水银面与水银槽内水银面的高度差为H₂．已知水银的密度为ρ，不计试管内被封闭气体的重力和玻璃管的厚度，大气压强为P₀，重力加速度为g，环境温度为T₀．
①求试管漂浮在水银面上时，试管内被封闭气柱的长度；
②如果在试管漂浮在水银面上的情况下，缓慢降低环境温度，求温度至少为多少时，试管全部沉入水银面以下．

Answer 1

分析 ①试管漂浮和悬浮时，具有重力等于内外的压力差，根据平衡条件列式；对封闭气体，再根据玻意耳定律列式；最后联立求解即可；
②试管全部沉入水银面，试管受重力和内外压力差而平衡，根据平衡条件列式；对气体，再根据盖-吕萨克定律列式；最后联立求解即可．

解答 解：①设漂浮时气柱长L₁，悬浮时气柱长L₂
试管漂浮和悬浮时均有：
ρgH₁S=ρgL₂S=mg
其中：p₂=p_o+ρgH₂
试管漂浮时有：
${p_1}={p_o}+ρgH_1^{\;}$
由玻意耳定律有：
p₁L₁S=p₂L₂S
联立解得：
${L_1}=\frac{{（{p_o}+ρg{H_2}）}}{{（{p_o}+ρgH_1^{\;}）}}{H_1}$
②由题意全部沉入水下的过程为等压过程，试管恰好全部沉入水下时，试管内气体的体积仍然为：
L₂S=H₁S，
则根据盖-吕萨克定律有：
$\frac{{{L_1}S}}{T_0}=\frac{{{L_2}S}}{T_2}$
解得：
${T_2}=\frac{{（{p_o}+ρg{H_1}）}}{{（{p_o}+ρgH_2^{\;}）}}{T_0}$
答：①试管漂浮在水银面上时，试管内被封闭气柱的长度为$\frac{（{p}_{o}+ρg{H}_{2}）}{（{p}_{o}+ρg{H}_{1}^{\;}）}{H}_{1}$；
②如果在试管漂浮在水银面上的情况下，缓慢降低环境温度，温度至少为$\frac{（{p}_{o}+ρg{H}_{1}）}{（{p}_{o}+ρg{H}_{2}^{\;}）}{T}_{0}$时，试管全部沉入水银面以下．

点评 本题关键是根据平衡条件和气体实验定律列式求解，要明确气体经历的是等温过程还是等压过程，运算要有耐心．