Question

如下图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都为n（n=1、2、3、……）。每人只有一个沙袋。x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg,x<0一侧的每个沙袋质量为m'=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。

　　（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时就反向滑行？

　　（2）车上最终有大小沙袋共多少个？

　　

Answer 1

  （1）3个；　　（2）11个

 

解析:

　　

　　解析1：

　　本题的主要理论依据是动量守恒定律，同时结合推理过程的数学归纳法及解不等式。

　　（1）

　　当向右经过第1个人时有：Mv₀-m(2×1×v₀)=(M+1m)v₁

　　经过第2个人时有：(M+1m)v₁-m(2×2×v₁)=(M+2m)v₂

　　经过第3个人时有：(M+2m)v₂-m(2×3×v₂)=(M+3m)v₃

　　按数学归纳法，经过第n个人时有：[M+(n-1)m]v_n-1-m(2nv_n-1)=(M+nm)v_n

　　解之：v_n= 　 　　　　　　　　　　(1)

　　仍照（1）式，可以推出：v_n-1= 　　 (2)

　　小车反向运动的条件是：v _n-1>0,v_n<0

　　即：M-nm>0,M-(n+1)m<0

　　代入数字，得：n< , n>

　　n应为整数，故n=3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行。

　　（2）当车上放着3个沙袋，以某一速度设v'₀，向左滑行时，其物理过程，除最初的质量为M+3m，初速为v'₀外完全相同，仍可依照（1）式的结论，推出：v'_n= 及v'_n-1=

　　车不再向左滑行的条件是：v'_n-1>0, v'_n≤0，

　　即 M-3m-nm'>0；M+3m-(n+1)m'≤0，

　　代入数字：n<

　　n≥ ，8≤n<9。

　　n=8时，车停止滑行，即在 —侧共有8个沙袋，抛到车上车就停止运动，所以最终车上共有沙袋：3+8=11个。

　　解析2：

　　（1）

　　设小车在朝x正向滑行过程中，第n-1个沙袋扔上后车速为v_n-1,第n个沙袋扔上后车速为v_n，由动量守恒定律得：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　即v_n=[48-14(n+1)]v_n-1/(48+14n)

　　要使小车反向运动，必须v_n-1>0,v_n<0

　　∴

　　解此不等式组是2.4<n<3.4

　　又因为n为整数，故n=3,即车上堆积3个沙袋时，车就反向运动。

　　（2）

　　车反向运动时，车的质量变为M+3m=90kg，设反向滑行中第n'-1个沙袋扔到车上后车速为v'_n-1，第n个沙袋扔到车上后车速v'_n,由动量守恒定律得：

　　[90+10(n'-1)]n_n-1-10×2n'v'_n-1=(90+10n')v'_n

　　∴v'_n=[90-10(n'+1)]v'_n-1/(90+10n')

　　车不再向左滑行时，必须满足v'_n-1<0,v'_n≥0

　　∴

　　解此不等式组得8≤n'<9。

　　n'=8时，v'_n=0,车停止滑行，即x<0一侧第8个沙袋扔到车后上就停止运动，此时车上共有沙袋个数为n+n'=11个。

　　解析3：

　　（1）

　　设扔第n个沙袋后车反向滑行，则第n个沙袋扔上车前的动量大小应大于此时车的动量大小。

　　即14×2nv_n-1>[48+14(n-1)]v_n-1

　　解得n>2.4，又n为整数，故n=3，即车上堆积3个沙袋后车就反向运动。

　　（2）

　　同解析1或解析2

　　说明：

　　上述三种解法中，对解析1是突出了物理过程，对每一个过程列出分过程式，最后得到通式。对解析2是找出了车反向运动的条件，直接列出通式。而解析3是比较沙袋和车的动量大小，得出了车反向运动的条件。思考问题的角度不同，但最后是殊途同归。

　　不论哪个解法，需研究每个已知条件对于解题的作用，抓主要矛盾，明确关键所在，集中精力突破。从“当车经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面反作用到车上，设u的大小等于此沙袋之前的瞬间车速大小的2n倍。”这句话可以知道：车从序号为n-1的人身旁以v_n-1的速度驶向序号为n人身旁，车上已有n-1个沙袋，而车从接受了第n个沙袋到从序号为n的人身旁离开的过程中，车及车上的沙袋动量守恒，可列方程：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　许多学生列出这个方程，但不知所措。其实只要仔细审题，反复体会“车反向滑行”这几个字便可发现，使车反向滑行的条件是：v_n-1>0,v_n<0。这便是本题的关键所在，突破了这个关键，解决问题就易如反掌了。