Question

一根长度为L的轻绳一端悬桂在固定点O，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方，距O点为OC=4L/5的C点处钉一小钉．现将小球拉至细绳绷直在水平位置时，由静止释放小球，如图所示．假设细绳始终不会被拉断，求：
（1）细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球的拉力各多大．
（2）要使细绳碰钉子后小球能够做完整的圆周运动，则释放小球时绷直的细绳与竖直方向的夹角至少为多大．

Answer 1

分析：（1）对于小球下摆过程，细绳的拉力不做功，运用机械能守恒定律求出细绳碰到钉子前瞬间的速度大小，再根据牛顿第二定律求解细绳的拉力；细绳碰到钉子前后线速度大小不变．
（2）若小球恰好做完整的圆周运动，在最高点时，绳的拉力为零，重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出小球到达最高点的临界速度，再由机械能守恒列式求解释放小球时绷直的细绳与竖直方向的夹角．

解答：解：（1）设小球运动到最低点的速度为v₁．
对于小球下摆过程，根据机械能守恒定律有：mgL=

1

2

m

v

2 1

设细绳碰到钉子前、后瞬间对球的拉力分别为T₁和T₂，则根据牛顿第二定律有：
   T₁-mg=m

v 2 1

L

   T₂-mg=m

v 2 1

1 5 L

解得 T₁=3mg，T₂=11mg
（2）若小球恰好做完整的圆周运动，在最高点，绳的拉力为零，重力提供向心力．设球在最高点时的速度为v₂，
由根据牛顿第二定律，对小球在最高点有：
 mg=m

v 2 2

1 5 L

设小球开始下摆时细绳与竖直方向的最小夹角为θ，则对于小球从开始下摆至运动到最高点的过程，应用机械能守恒定律有：
  mg?

2

5

L+

1

2

m

v

2 2

=mgL（1-cosθ）
解得θ=60°
答：
（1）细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球的拉力各3mg和11mg．
（2）要使细绳碰钉子后小球能够做完整的圆周运动，释放小球时绷直的细绳与竖直方向的夹角至少60°．

点评：本题整合了机械能守恒定律、牛顿第二定律和临界条件，是常见的问题，关键要抓住细绳碰到钉子前后速度大小和小球到达最高点的临界条件．