Question

9．如图所示，“×”型光滑金属导轨abcd固定在绝缘水平面上，ab和cd足够长∠aOc=60°．虚线MN与∠bOd的平分线垂直，O点到MN的距离为L．MN左侧是磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场．一轻弹簧右端固定，其轴线与∠bOd的平分线重合，自然伸长时左端恰在O点．一质量为m的导体棒ef平行于MN置于导轨上，导体棒与导轨接触良好．某时刻使导体棒从MN的右侧$\frac{L}{4}$处由静止开始释放，导体棒在压缩弹簧的作用下向左运动，当导体棒运动到O点时弹簧与导体棒分离．导体棒由MN运动到O点的过程中做匀速直线运动．导体棒始终与MN平行．已知导体棒与弹簧彼此绝缘，导体棒和导轨单位长度的电阻均为r_o，弹簧被压缩后所获得的弹性势能可用公式Ep=$\frac{1}{2}$kx²计算，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．
（1）求导体棒在磁场中做匀速直线运动过程中的感应电流的大小，并判定大小变化特点；
（2）求弹簧的劲度系数k和导体棒在磁场中做匀速直线运动时速度v₀的大小；
（3）求导体棒最终静止时的位置距O点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，根据闭合电路的欧姆定律求解回路中的感应电流强度；
（2）导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列方程；再以导体棒为研究对象，根据牛顿第二定律列方程，联立求解；
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，根据牛顿第二定律可得$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$=ma，左右两边同乘以△t，在求和，由此求解导体棒最终静止的位置距O点的距离．

解答 解：（1）设导体棒在磁场中做匀速直线运动时的速度为v₀，某时刻导体棒在回路中的长度为l，则此时感应电动势为：
E=Blv₀
此时回路的电阻为：
R=3lr₀
回路中的感应电流为：
I=$\frac{E}{R}=\frac{{B{v_0}}}{{3{r_0}}}$
因为B、v₀均为不变量，所以感应电流I为不变量；
（2）释放导体棒后，在未进入磁场的过程中，导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}k{（\frac{5L}{4}）^2}-\frac{1}{2}k{L^2}=\frac{1}{2}$mv₀²
导体棒在磁场中做匀速直线运动的过程中，设某时刻导体棒距O的距离为x，根据牛顿第二定律有：
2BIxtan30°-kx=0
解得：k=$\frac{{{B^4}{L^2}}}{12mr_0^2}$，v₀=$\frac{{\sqrt{3}{B^2}{L^2}}}{{8m{r_0}}}$；
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，在停止运动前做减速运动．设某时刻导体棒距O点的距离为x，导体棒在回路中的长度为l，加速度为a，速度为v，回路中的电流为I，
根据牛顿第二定律有：
BIl=ma
又因为有：I=$\frac{Bv}{{3{r_0}}}$
所以有：$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$=ma
取一段很短的时间△t，导体棒在回路中的长度为l、加速度为a和速度为v，l、a和v可以为不变．设在这段时间内导体棒速度的变化量大小为△v，回路所围面积的变化量为△S．
将上式左右两边同乘以△t，可得：
$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$△t=ma△t
则导体棒从O点开始运动到静止的过程可表示为：
$\frac{{{B^2}{l_1}{v_1}}}{{3{r_0}}}△{t_1}+\frac{{{B^2}{l_2}{v_2}}}{{3{r_0}}}△{t_2}+\frac{{{B^2}{l_3}{v_3}}}{{3{r_0}}}△{t_3}+…=m{a_1}△{t_1}+m{a_2}△{t_2}+m{a_3}△{t_3}$+…
即：$\sum_{\;}^{\;}{\frac{{{B^2}{l_n}{v_n}}}{{3{r_0}}}△{t_n}=\sum_{\;}^{\;}{m{a_n}△{t_n}}}$
所以有：$\frac{B^2}{{3{r_0}}}\sum_{\;}^{\;}{{l_n}{v_n}△{t_n}=m\sum_{\;}^{\;}{{a_n}△{t_n}}}$$\frac{B^2}{{3{r_0}}}\sum_{\;}^{\;}{△{S_n}=m\sum_{\;}^{\;}{△{v_n}}}$
设导体棒最终静止的位置距O点的距离为x₀，则有：
$\frac{B^2}{{3{r_0}}}x_0^2tan30°=m{v_0}$
解得：x₀=$\frac{{3\sqrt{2}l}}{4}$．
答：（1）导体棒在磁场中做匀速直线运动过程中的感应电流的大小为$\frac{B{v}_{0}}{3{r}_{0}}$，电流强度恒定；
（2）弹簧的劲度系数为$\frac{{B}^{4}{L}^{2}}{12m{r}_{0}^{2}}$，导体棒在磁场中做匀速直线运动时速度v₀的大小为$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}}{8m{r}_{0}}$；
（3）导体棒最终静止时的位置距O点的距离为$\frac{3\sqrt{2}l}{4}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．